Proportion d'argent

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La proportion d'argent est la constante mathématique 1 + 2. Comme la racine carrée de deux, c'est un nombre irrationnel. Son nom fait référence à la proportion dorée.

Symbole de la proportion d'argent

Définition[modifier | modifier le code]

La proportion d'argent, notée \delta_{Ag}, vaut 1+\sqrt2\simeq2{,}414~213~562 (suite A014176 de l'OEIS).

Elle peut aussi être écrite comme la fraction continue purement périodique [2] :

\delta_{Ag} = 2 + \frac1{2 + \frac1{2 + \frac1{2 + \cdots}}}

Propriétés[modifier | modifier le code]

Puisque la proportion d'argent est un nombre de Pisot-Vijayaraghavan, elle possède une propriété rare d'approximation diophantienne : la suite des parties fractionnaires de ses puissances tend vers 0.

Puisque  \delta_{Ag}^2 = 2\delta_{Ag} + 1, les puissances successives sont de la forme

\delta_{Ag}^n =P_n\delta_{Ag} +P_{n-1}

(Pn) est la suite (complétée en n = –1) des nombres de Pell :

P_{-1}=1,\quad P_0=0,\quad\forall n\ge1\quad P_n=2P_{(n-1)}+P_{(n-2)}.

Par exemple :

 \delta_{Ag}^0=0\delta_{Ag}+1,\quad\delta_{Ag}^1=1\delta_{Ag}+0,\quad\delta_{Ag}^2=2\delta_{Ag}+1,\quad\delta_{Ag}^3=5\delta_{Ag}+2,\quad\delta_{Ag}^4=12\delta_{Ag}+5.

Les moyennes d'argent[modifier | modifier le code]

Les fractions continuées plus générales Ag_m=[\overline m] pour tout entier m > 0 sont appelées les moyennes d'argent[1]. La proportion d'or est Ag_1 et celle d'argent est Ag_2[2].

La fraction continue Ag_m vérifie

Ag_m=m+\frac1{Ag_m}.

Elle a donc même partie fractionnaire que son inverse, et elle est solution de l'équation

x^2=mx+1,

si bien qu'elle vaut

Ag_m=\frac{m+\sqrt{m^2+4}}2

et que sa partie entière est égale à m.

On peut définir Ag_m pour m négatif[réf. nécessaire] par la même formule et remarquer alors que

Ag_{(-m)}=\frac1{Ag_m}.

De l'équation x^2=mx+1 on déduit aussi que

{Ag_m}^n =F_n(m)Ag_m+F_{n-1}(m)

(Fn) est la suite (complétée en n = –1) des polynômes de Fibonacci (en) :

F_{-1}=1,\quad F_0=0,\quad\forall n\ge1\quad F_n(X)=XF_{n-1}(X)+F_{n-2}(X).

La suite (Fn(m)) est donc une suite de Lucas :

F_n(m)=U_n(m,-1)=\frac{Ag_m^n-{(m-Ag_m)}^n}{\sqrt{m^2 + 4}}.

Les rectangles d'argent[modifier | modifier le code]

Un rectangle de proportion (rapport de la longueur par la largeur) égale à la proportion d'argent est parfois appelé « rectangle d'argent », par analogie avec les rectangles d'or.

Mais cette expression est ambiguë : « rectangle d'argent » peut aussi désigner un rectangle de proportion 2, aussi connu sous le nom de rectangle A4 en référence au format de papier A4.

Ces deux types de rectangles d'argent ont la propriété qu'en leur enlevant deux carrés, on peut obtenir un rectangle semblable[3]. En effet, en retirant le plus grand carré possible d'un rectangle d'argent, on obtient un rectangle d'argent de l'autre forme, si bien qu'en recommençant, on retrouve un rectangle d'argent de la même forme que l'original, mais réduit par le facteur 1 + 2.

Irrationalité[modifier | modifier le code]

En retirant deux carrés de côté q d'un rectangle de côté q et p + q=q(√2 + 1), on obtient un rectangle de côtés q(√2 - 1) et q, donc de même proportion. La figure peut se reproduire indéfiniment.

L'irrationalité de la proportion d'argent, et donc de √2 se déduit d'une descente infinie mise en évidence par la construction ci-contre[4].

On construit un rectangle de base p + q et de hauteur q, avec p = q√2. La proportion (p + q )/q, égale à 1 + √2, est la proportion d'argent.

L'objectif est de remplir le rectangle de carrés les plus vastes possible. Le plus grand côté possible pour les premiers carrés est q, car la hauteur est égale à q. Comme p + q est plus grand que 2q et strictement plus petit que 3q, on peut construire deux carrés de côté q, en rouge sur la figure. La zone restante (en bleu sur la figure) est un rectangle de côtés q et p - q. Or on dispose de la formule :

\frac{p + q}q=\frac q{p - q}.

Elle indique que le rectangle initial et le bleu sont semblables, la proportion entre les deux étant le rapport (p + q )/q. Il est alors possible de remplir la zone restante d'exactement deux carrés de taille maximale, comme précédemment et la zone restante est encore un rectangle semblable à l'initial. Finalement on obtient deux carrés de côté q, puis deux carrés de côté (p + q )/q fois plus petits que les premiers, puis deux carrés de côté (p + q )/q fois plus petits que les précédents et la suite ne s'arrête jamais.

S'il existait une unité telle que la longueur de la base et celle de la hauteur soient des entiers, alors les côtés des différents carrés seraient toujours des entiers, ce qui garantit que la suite finirait par s'arrêter, car les carrés ne peuvent devenir infiniment petits. La proportion d'argent (p + q )/q n'est donc pas rationnelle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Silver ratio » (voir la liste des auteurs).

  1. Traduction libre de silver mean.
  2. Une table contenant les valeurs des cinq premières moyennes d'argent peut être trouvée dans (en) Eric W. Weisstein, « Silver Ratio », MathWorld.
  3. (en) Janos Kapusta, « The square, the circle, and the golden proportion: a new class of geometrical constructions », Forma, vol. 19,‎ 2004, p. 293-313 (lire en ligne).
  4. Reprise de Hugo Steinhaus par (en) Martin Gardner, A Gardner's Workout: Training the Mind and Entertaining the Spirit, A K Peters, Ltd.,‎ 2001 (ISBN 978-1-56881120-8), p. 10.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Ron Knott, « The Silver Means »