Nombre de Pell

En mathématiques, les nombres de Pell et les nombres de Pell compagnon (ou nombres de Pell-Lucas) sont tous les deux des suites d'entiers relatifs.

Construction des nombres de Pell

Les nombres de Pell sont définis par récurrence de la manière suivante :

$P_n=\begin{cases}0&\mbox{pour }n=0;\\1&\mbox{pour }n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&\mbox{pour }n \geq 2.\end{cases}$

Autrement dit :
on commence par 0 et 1, et on produit le prochain nombre de Pell en additionnant deux fois le nombre de Pell précédent au nombre de Pell antérieur à ce même précédent.

Les premiers nombres dans la suite sont donc, selon la suite suite A000129 de l'OEIS :
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378...

Nombre de Pell premier

Un nombre de Pell premier est un nombre de Pell qui est aussi un nombre premier.

Les premiers nombres de Pell premiers sont :

2, 5, 29, 5 741, etc.

Nombres de Pell compagnon (Nombres de Pell-Lucas)

Les nombres de Pell compagnon sont définis par récurrence de la manière suivante :

$P_n=\begin{cases}2&\mbox{pour }n=0;\\2&\mbox{pour }n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&\mbox{pour }n \geq 2.\end{cases}$

Autrement dit :
on commence par 2 et 2, et on produit le prochain nombre de Pell en additionnant deux fois le nombre de Pell précédent au nombre de Pell antérieur à ce même précédent. . Les premiers nombres de Pell compagnon sont donc, selon la suite suite A002203 de l'OEIS :
2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478...

La formule suivante permet de retrouver tous les nombres de Pell-Lucas:

$\forall n \in \mathbb{Z}, \mathcal{P}_{n} = (1 + \sqrt{2})^{n} + (1 - \sqrt{2})^{n}$

Les puissances successives de

$\ (1 + \sqrt{2}) \simeq 2,414213562...,$

sont voisines des nombres de Pell-Lucas quand n est grand. Par exemple :

$\mathcal{P}_{2}= 6 \simeq(1 + \sqrt{2})^{2} = 5,828427125\dots\,$

$\mathcal{P}_{4}= 34 \simeq(1 + \sqrt{2})^{4}= 33,97056275\dots\,$

$\mathcal{P}_{8}= 1154 \simeq(1 + \sqrt{2})^{8}= 1153,999133\dots\,$