Nombre de Pell

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, les nombres de Pell et les nombres de Pell compagnon[réf. nécessaire] (ou nombres de Pell-Lucas) constituent les deux suites d'entiers U(2, –1) et V(2, –1), cas particulier de suites de Lucas.

Relations de récurrence[modifier | modifier le code]

Les nombres de Pell Pn et de Pell-Lucas Qn sont définis par la récurrence linéaire suivante :

P_n=\begin{cases}0&\mbox{pour }n=0,\\1&\mbox{pour }n=1,\\2P_{n-1}+P_{n-2}&\mbox{pour }n \geq 2\end{cases}\quad{\rm et}\quad Q_n=\begin{cases}2&\mbox{pour }n=0,\\2&\mbox{pour }n=1,\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&\mbox{pour }n \geq 2.\end{cases}

Autrement dit : on commence par 0 et 1 pour la première suite et par 2 et 2 pour la seconde, et dans chacune des deux suites, on produit le prochain nombre en additionnant deux fois le dernier à l'avant-dernier.

Quelques valeurs[modifier | modifier le code]

Les dix premiers nombres de Pell sont 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408 et 985 et les dix premiers nombres de Pell-Lucas sont 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1 154 et 2 786 (pour les 1 000 premiers, voir les suites A000129 et A002203 de l'OEIS).

Les Qn étant tous pairs, c'est parfois plutôt les Qn/2 qu'on appelle nombres de Pell-Lucas[1].

Les quatre premiers nombres de Pell premiers sont 2, 5, 29 et 5 741 (pour les 23 premiers, voir la suite A086383 de l'OEIS).

Terme général[modifier | modifier le code]

Le terme général de ces deux suites est :

P_n=U_n(2,-1)=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}\quad{\rm et}\quad Q_n=V_n(2,-1)=(1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n.

Lien avec la proportion d'argent[modifier | modifier le code]

Les puissances successives de la proportion d'argent 1 + 2 sont donc voisines des nombres de Pell-Lucas quand n est grand. Par exemple :

(1+\sqrt2)^2\simeq5{,}8\simeq6=Q_2,
(1+\sqrt2)^4\simeq33{,}97\simeq34=Q_4,
(1+\sqrt2)^8\simeq1153{,}999\simeq1154=Q_8.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pell number » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Thomas Koshy, Pell and Pell-Lucas Numbers with Applications, Springer,‎ 2014 (ISBN 9781461484899, lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]