Problème de Fekete

En mathématiques, le problème de Fekete est, étant donné un entier naturel N et un réel s ≥ 0, de trouver les points x ₁, ..., x _N sur la 2-sphère pour lesquels la s-énergie, définie par

$\sum _{1\leq i<j\leq N}\|x_{i}-x_{j}\|^{-s}$

pour s > 0 et par

$\sum _{1\leq i<j\leq N}\log \|x_{i}-x_{j}\|^{-1}$

pour s = 0, est minimale. Pour s > 0, ces points sont appelés s-points de Fekete et, pour s = 0, points de Fekete logarithmiques (voir Saff & Kuijlaars (1997)). Plus généralement, on peut considérer le même problème sur la sphère d- dimensionnelle, ou sur une variété riemannienne (auquel cas ||x_i − x_j|| est remplacé par la distance riemannienne entre x_i et x_j ).

Le problème trouve son origine dans l'article de Michael Fekete (1923), qui a considéré que le cas unidimensionnel avec s = 0 cas, répondant à une question d'Issai Schur.

Une version algorithmique du problème de Fekete est le numéro 7 sur la liste des problèmes discutés par Smale (1998).

Références

• Saff et Kuijlaars, « Distributing many points on a sphere », Math. Intelligencer, vol. 19, n^o 1,‎ 1997, p. 5–11 (DOI 10.1007/BF03024331, MR 1439152)