Problème aux valeurs propres généralisé

En algèbre linéaire, un problème aux valeurs propres généralisé est une extension du problème de recherche de vecteurs et valeurs propres d'une matrice.

Soient A et B deux matrices carrées de dimension n×n. Le problème aux valeurs propres généralisé consiste à trouver un vecteur v (de dimension n) vérifiant

$\mathrm {A} \mathbf {v} =\lambda \mathrm {B} \mathbf {v}$

où λ est un scalaire. Un tel vecteur v est appelé « vecteur propre généralisé de A et de B », et le scalaire λ associé est appelé « valeur propre généralisée de A et de B ».

Notons $(\cdot ,\cdot )_{\mathbb {C} ^{n}}$ le produit scalaire canonique hermitien de $\mathbb {C} ^{n}$ :

$(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )_{\mathbb {C} ^{n}}=\mathbf {v} ^{*}\mathbf {u}$

où l'opération u^* désigne la transconjuguée de u. Alors, le problème aux valeurs propres généralisées peut aussi s'écrire :

$\forall \mathbf {u} \in \mathbb {C} ^{n},(\mathrm {A} \mathbf {v} ,\mathbf {u} )_{\mathbb {C} ^{n}}=\lambda (\mathrm {B} \mathbf {v} ,\mathbf {u} )_{\mathbb {C} ^{n}}$

Notons que ce problème peut avoir des valeurs propres généralisées nulles ou bien infinies.

Exemples d'applications

La résolution de certains problèmes aboutit à un problème aux valeurs propres généralisé. Par exemple :

• la régression elliptique : une ellipse peut se représenter par une équation matricielle, et la recherche de la « meilleure ellipse » passant par un nuage de points peut se faire en résolvant un problème aux valeurs propres généralisé (Fitzgibbon et coll.) ;
• lorsque l'on cherche à résoudre l'équation de Schrödinger pour des molécules dans le cas de couches électroniques ouvertes (c'est-à-dire dont la couche de valence n'est pas complète), on aboutit aux équations de Roothaan, qui peuvent être écrites sous la forme d'un problème aux valeurs propres généralisé ; voir Méthode de Hartree-Fock restreinte pour couche ouverte ;
• la résolution d'un système d'équations différentielles pouvant s'écrire sous forme matricielle :
  $\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A} \cdot {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}{\mathrm {d} t}}(t)+\mathrm {B} {\boldsymbol {\alpha }}(t)\ &=\mathbf {f} (t)\\{\boldsymbol {\alpha }}(0)\ &={\boldsymbol {\alpha }}_{0}\end{aligned}}\right.$
  où A et B sont à symétriques à coefficients réels, A est définie positive, f est une fonction continue de R dans Rⁿ et α₀ est un vecteur (condition initiale).
• en mécanique, les problèmes de dynamique vibratoire conduisent à la résolution du problème aux valeurs propres généralisés suivant :
  $\mathbb {K} u=\omega ^{2}\mathbb {M} u$ avec :
  • $\mathbb {K} ,\mathbb {M}$ respectivement les matrices de raideur et de masse issues d'une discrétisation par éléments finis
  • $\omega$ les pulsations propres de la structure discrétisée
  • u les modes de déformation associés

Propriétés

Le scalaire λ doit vérifier l'équation :

$\operatorname {det} (\mathrm {A} -\lambda \mathrm {B} )=0$

Notons que l'ensemble des matrices de la forme A - λB est un faisceau de matrices linéaire (linear matrix pencil).

Supposons que le problème ait n solutions, c'est-à-dire que l'on ait n couples de valeurs propres-vecteurs propres (λ_i, v_i)_{1 ≤ i ≤ n}, c'est-à-dire n vecteurs (v_i)_{1 ≤ i ≤ n} et n scalaires (λ_i)_{1 ≤ i ≤ n} vérifiant

$\forall 1\leqslant i\leqslant n,\ \mathrm {A} \mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathrm {B} \mathbf {v} _{i}$

notons les composantes

$\mathbf {v} _{i}{\begin{pmatrix}v_{i1}\\\vdots \\v_{im}\end{pmatrix}}$

et définissons les matrices P et D :

$\mathrm {P} =[\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots ,\mathbf {v} _{n}]={\begin{pmatrix}v_{11}&v_{21}&\cdots &v_{n1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\v_{1n}&v_{2n}&\cdots &v_{nn}\end{pmatrix}}$

$\mathrm {D} _{ij}=\left\{{\begin{aligned}\lambda _{i}&{\text{ si }}i=j\\0&{\text{ sinon}}\end{aligned}}\right.$ ; $\mathrm {D} ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$

On a alors :

$\mathrm {A} =(\mathrm {BP} )\mathrm {DP} ^{-1}$

Démonstration

On a

$\mathrm {A} \mathrm {P} =\mathrm {A} [\mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n}]=[\mathrm {A} \mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathrm {A} \mathbf {v} _{n}]=[\lambda _{1}\mathrm {B} \mathbf {v} _{1},\cdots ,\lambda _{n}\mathrm {B} \mathbf {v} _{n}]=[\mathrm {B} \mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathrm {B} \mathbf {v} _{n}]\mathrm {D}$

soit

$\mathrm {A} \mathrm {P} =\mathrm {B} \mathrm {P} \mathrm {D}$.

Par ailleurs, la matrice P est régulière, on peut donc multiplier à droite chaque membre par P^-1, cqfd.

Cas particuliers

Si B est inversible

Si la matrice B est régulière, alors on peut réécrire le problème sous la forme d'un problème aux valeurs propres « classique » :

B^-1Av = λv

mais il est en général préférable de résoudre directement le problème initial. En particulier, si A et B sont hermitiennes, alors la matrice B^-1A n'est en général elle-même pas hermitienne ; la reformulation masque alors des propriétés importantes de la solution.

Notons que puisque B et P sont régulières, alors BP l'est aussi.

Si A et B sont hermitiennes et que B est définie positive

Théorème — Si A et B sont hermitiennes (et a fortiori si elles sont symétriques à coefficients réels), et que de plus B est définie positive, alors le problème aux valeurs propres généralisé admet n valeurs propres généralisées réelles (λ_i)_{1 ≤ i ≤ n}, associés à n vecteurs propres généralisés (v_i)_{1 ≤ i ≤ n} formant une base B-orthogonale.

La matrice B étant définie positive, on peut définir le produit scalaire $(\cdot ,\cdot )_{\mathrm {B} }$ par :

$(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )_{\mathrm {B} }=(\mathrm {B} \mathbf {v} ,\mathbf {u} )_{\mathbb {C} ^{n}}=(\mathrm {B} \mathbf {v} )^{*}\mathbf {u}$

le problème aux valeurs propres généralisé peut donc s'écrire :

$\forall \mathbf {u} \in \mathbb {C} ^{n},(\mathrm {A} \mathbf {v} ,\mathbf {u} )_{\mathbb {C} ^{n}}=\lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {u} )_{\mathrm {B} }$

Ce cas implique donc l'existence de n couples de valeurs propres-vecteurs propres (λ_i, v_i)_{1 ≤ i ≤ n}, et :

• les valeurs propres généralisées λ_i sont réelles ;
• si deux vecteurs propres généralisés v_i et v_j (i ≠ j) ont des valeurs propres généralisées distinctes, alors
  v_i et v_j sont B-orthogonaux :
  $\forall \{i,j\}\in [1;n]^{2},(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})_{\mathrm {B} }=0$, ce qui s'écrit également $^{\mathrm {t} }{\bar {\mathbf {v} _{i}}}\mathrm {B} \mathbf {v} _{j}=0$
  ^tv_i désignant la matrice transposée et v_i, soit encore
  ^tPBP = I_n,

Donc (v_i)_{1 ≤ i ≤ n} est une base de vecteurs propres généralisés (ce n'est pas un problème défectif).

L'égalité

A = (BP)DP^-1

est donc la décomposition spectrale généralisée de A, analogue à la décomposition spectrale d'une matrice hermitienne :

• D est une matrice diagonale ;
• (BP)^-1 = ^tP (puisque ^tPBP = I_n), ce qui « joue le rôle » de la matrice unitaire.

Mise en œuvre

De nombreux logiciels de calcul numérique ont développé des fonctions de résolution de problèmes valeurs propres généralisés. Citons par exemple :

Scilab

[alpha, beta, P] = eigs(A, B);

Cette fonction permet de traiter les cas dégénérés (valeurs propres nulles, s'il y a des zéros dans alpha, ou bien infinies, s'il y a des zéros dans beta). Si le cas n'est pas dégénéré, on a alors :

D = diag(alpha./betaa);

À partir de la version 5.4, on peut utiliser pour les cas non dégénérés :

[D, P] = eigs(A, B);

Matlab Pour les cas dégénérés, on peut utiliser

[AA, BB, D, V, W] = qz(A, B);
alpha = diag(AA); betaa = diag(BB);

Les colonnes des matrices V et W contiennent les vecteurs propres généralisés.

Si le cas n'est pas dégénéré, on a alors :

D = diag(alpha./betaa);

Et pour les cas non dégénérés :

[P, D] = eig(A, B);

Voir aussi

Articles connexes

• Valeur propre, vecteur propre et espace propre
• Décomposition d'une matrice en éléments propres

Liens externes

• Gilles Leborgne, Diagonalisation : valeurs propres, valeurs propres généralisés (notes de cours), ISIMA, 14 septembre 2011 (lire en ligne [PDF])