Paradoxe des deux enfants
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Le paradoxe des deux enfants est l'un des plus connus des problèmes de la théorie des probabilités.
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[modifier] Énoncé
- « Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ? »
Un autre énoncé mais pour lequel la réponse est différente existe aussi :
- « Sachant qu'une famille a deux enfants et que le premier[1] est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ? »
[modifier] Hypothèses implicites
Pour résoudre ce problème, nous faisons l'hypothèse que la probabilité d'avoir un garçon est de 50% (dans la réalité, ce n'est pas tout à fait le cas et cela dépend des âges).
Nous faisons aussi l'hypothèse que les naissances sont des événements indépendants, qui produisent des sexes indépendants. Ce qui n'est pas tout à fait vrai non plus, ne serait-ce que dans le cas des jumeaux monozygotes.
[modifier] Solution
Les deux énoncés, bien qu'ils semblent équivalents, ne le sont pas ; la réponse est 1/3 pour l'une et 1/2 pour l'autre. Les familles de deux enfants ont a priori 4 configurations équiprobables : GG, FG, GF, et FF. On demande la probabilité de la configuration GG
- Le premier énoncé exclut la configuration FF et permet les trois autres. Il reste donc 3 configurations équiprobables : GG, FG et GF, parmi lesquels la configuration GG a la probabilité 1/3. La réponse est donc : 1/3.
- Notons que 3/4 (probabilité des configurations GG, FG et GF dans le total des familles de 2 enfants) × 1/3 (probabilité de GG dans ce sous-ensemble) = 1/4 et on retrouve la part de GG dans le total.
- Le second énoncé exclut les deux configurations avec une fille en premier, soit FF et FG. Il reste donc 2 configurations équiprobables : GG et GF, parmi lesquels la configuration GG a la probabilité 1/2. La réponse est donc : 1/2.
- Si le sexe intervient dans la relation d'ordre utilisée, le résultat est très différent.
- Si l'ordre fait toujours passer une fille après un garçon, alors la configuration FG devient une configuration GF "bis", de sorte que seule la configuration FF est exclue, comme dans l'énoncé de la première forme, pour un résultat identique : la réponse est 1/3.
- Inversement si la relation d'ordre fait passer un garçon après une fille, alors GF devient FG "bis", FF, FG et GF(=FG bis) sont exclues, seule la configuration GG est permise, et dans ce cas la probabilité que le second enfant soit aussi un garçon est de 1 (ou 100%).
[modifier] Défauts de l'énoncé
La procédure par laquelle on obtient l'information « l'un des enfants est un garçon » est importante pour pouvoir répondre précisément à la question. Il n'est pas équivalent de choisir d'abord un enfant au hasard et de constater que c'est un garçon, que de choisir un enfant parmi les garçons dont on dispose, s'il en existe : le premier type de choix n'apprend rien du tout sur les enfants restant, alors que le second réduit le nombre de garçons restant, donc la probabilité que l'enfant restant soit un garçon.
De façon générale, si A et B sont deux événements (définis sans ambiguïté) d'un espace probabilisé (lui aussi non ambigu), il n'y a pas d'ambiguïté pour déterminer la probabilité conditionnelle de A sachant B.
En revanche, si A est un événement et B une assertion, on ne peut pas répondre à un exercice de la forme « On sait B ; quelle est la probabilité de A ? » Dans les cas les plus simples, on peut tenter de replacer cette question dans le cadre « probabilité conditionnelle de A sachant B » en interprétant l'assertion B comme un événement B.
[modifier] Formalisation avec deux événements
- Soit A l'évènement : les deux enfants sont des garçons
- Soit B l'évènement : l'un des deux est un garçon
La probabilité de A sachant B multipliée par celle de B est égale à la probabilité de B sachant A multipliée par celle de A, car dans les deux cas c'est la probabilité de A et B (A et B réalisé en même temps), Cf. le théorème de Bayes.
- Formellement, cela peut s'écrit : P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A) = P (A et B)
- Donc P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B) (sous réserve que P(B) soit non nul)
- P(B|A) = 1 car si les deux sont des garçons, alors l'un des deux est un garçon (toujours vrai)
- P(A) = 1/4 (idem démonstration ci-dessus ; les deux enfants sont des garçons dans une configuration, GG, sur les quatre)
- P(B) = 3/4 (idem démonstration ci-dessus ; il y a un garçon dans 3 configuration, GG, FG et GF, sur les quartre)
Ainsi P(A|B) = 1 × (1/4) / (3/4) = 1/3
La probabilité que les deux soient des garçons, sachant que l'un des deux en est un, est de 1/3.
[modifier] Notes et références
[modifier] Notes
- ↑ Premier dans n'importe quel sens du terme : l'ainé, le premier aperçu, celui qui ouvre la porte, etc., pourvu toutefois que le sexe n'intervienne pas dans la relation d'ordre choisie.
