Uplet

En mathématiques, si n est un entier naturel, alors un n-uplet ou n-uple est une collection ordonnée de n objets, appelés « composantes » ou « éléments » ou « termes » du n-uplet.

En programmation informatique, on trouve une notion équivalente dans certains langages, tels que Python, Rust, OCaml, Scala, Swift ou MDX. Dans les langages fonctionnels, les tuples sont réalisés comme types produits ; dans les langages impératifs, on trouve des tuples nommés, où les composantes sont repérées par un nom, sous la forme de struct (C) ou record (Pascal).

Note : l'utilisation du terme anglais tuple, suffixe de quin-tuple/sex-tuple/…, est courante dans des ouvrages de programmation informatique en français.

Définitions

Pour n > 0, si nous notons a₁ le premier élément, a₂ le deuxième élément, …, a_n le n-ième élément, le n-uplet s'écrit : (a₁,a₂,…,a_n).

Exemples :

• Si le premier élément et le deuxième sont 1, si le troisième est 5 et si le quatrième est 20, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit : (1, 1, 5, 20).
• Si le premier élément est ♥, le deuxième et le quatrième sont ♣ et le troisième est ♦, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit : (♥, ♣, ♦, ♣).
• Le 0-uplet s'écrit $()$.

L'égalité des n-uplets se définit par

(a₁,a₂,…,a_n) = (b₁, b₂,…,b_n) si et seulement si a₁ = b₁ et a₂ = b₂ … et a_n = b_n.

Exemples :

• (1, 2) ≠ (2, 1).
• (♠ , ♥) ≠ (♥, ♠).

La n-ième puissance cartésienne Eⁿ d'un ensemble E est l'ensemble des n-uplets d'éléments de E.

• un 1-uplet est un élément de E ;
• un 2-uplet est un couple (ou doublet) ;
• un 3-uplet est un triplet ;
• un 4-uplet est un quadruplet ;
• un 5-uplet est un quintuplet ;
• etc.

Plus généralement, le produit cartésien E₁ × … × E_n de n ensembles E₁, …, E_n est l'ensemble des n-uplets (a₁,a₂,…,a_n) où a₁ appartient à E₁, …, a_n appartient à E_n.

Exemples

• De manière générale, les coordonnées sont des n-uplets. En particulier, les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de nombres réels.
• Les nombres complexes peuvent se construire à partir de couples de nombres réels.
• Un quaternion peut être représenté par un quadruplet de nombres réels.
• En théorie des nombres, les mathématiciens s'intéressent notamment aux triplets, quadruplets, quintuplets, sextuplets, etc. de nombres premiers.
• En informatique, les objets d'un type de données enregistrement sont des n-uplets.
• Un n-uplet constitue les paramètres d'une fonction informatique ou les arguments d'une fonction mathématique à n variables.

Formalisation

D'après la définition par récurrence du produit cartésien de n ensembles, un n-uplet peut être défini à partir de la notion de couple, qui elle-même peut se définir en termes d'ensembles :

(a₁, a₂, … ,a_n) = ((… ((a₁, a₂), a₃), … , a_n–1), a_n)

(c'est-à-dire qu'un (n + 1)-uplet est un couple dont la première composante est un n-uplet). Autrement dit :

1. ∅ est un 0-uplet
2. si x = (a₁, a₂, … ,a_n) est un n-uplet, alors (x,a_n+1) est un (n+1)-uplet, et (a₁, a₂, … ,a_n, a_n+1) = (x, a_n+1).

La propriété caractéristique des n-uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.

On a choisi pour définir un n+1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un n-uplet : c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un n+1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un n-uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.

Il est enfin possible de définir un n-uplet comme une suite finie, c'est-à-dire une fonction définie sur un ensemble fini, {0, …, n – 1} ou {1, …, n}.

Articles connexes

• Liste (mathématiques)
• Suite presque nulle