Triplet de nombres premiers

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Article principal : Séquence de nombres premiers.

Un triplet de nombres premiers est, au sens le plus commun, un n-uplet (p_1, p_2, p_3) de trois termes premiers, c'est-à-dire appartenant chacun à l'ensemble \mathbb{P} des nombres premiers.
Autrement dit, c'est un élément de l'ensemble \mathbb{P}^3.

Les recherches en théorie des nombres sur les nombres premiers ont amené les mathématiciens à définir et examiner des triplets particuliers, dont les termes premiers répondent à des conditions précises.

Les triplets de nombres premiers les plus étudiés regroupent des nombres premiers successifs, c'est-à-dire séparés par deux distances minimales. Cette définition encore générale ne présente toujours pas beaucoup d'intérêt puisque, les nombres premiers étant en quantité infinie, il est toujours possible de rassembler ces nombres successifs 3 par 3, et ce jusqu'à l'infini.

Triplet de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants[modifier | modifier le code]

En pratique, la notion de triplet de nombres premiers, au sens strict habituellement rencontré dans la littérature mathématique, concerne les triplets constitués de trois nombres premiers tels que la différence entre le premier et le troisième soit exactement « 6 ».

Propriétés caractéristiques[modifier | modifier le code]

Un tel triplet de nombres premiers, est donc de la forme (p, p + 2, p + 6) ou (p, p + 4, p + 6).

Les triplets (2, 3, 5) et (3, 5, 7) sont exclus, selon cette définition stricte.


Un tel triplet de nombres premier contient à la fois :


Un nombre premier peut appartenir au maximum à trois tels triplets de nombres premiers ; par exemple : 103 appartient à (97, 101, 103), (101, 103, 107) et (103, 107, 109).
Dans ce cas, les cinq nombres premiers impliqués forment un quintuplet de nombres premiers.


Un quadruplet de nombres premiers « (p, p + 2, p + 6, p + 8) » contient deux tels triplets de nombres premiers imbriqués : « (p, p + 2, p + 6) » et (« p + 2, p + 6, p + 8) ».

Liste de triplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants[modifier | modifier le code]

Les plus petits de ces triplets de nombres premiers particuliers sont :

  • de 0 à 100, 9 occurrences : (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103),
  • de 101 à 250, 7 occurrences : (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233) ;
  • de 251 à 500, 6 occurrences : (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467) ;
  • de 501 à 1 000, 8 occurrences : (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887) ;
  • etc.

Dénombrement des triplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants[modifier | modifier le code]

Par analogie avec la conjecture des nombres premiers jumeaux, le nombre de triplets de nombres premiers est supposé infini.

Record de grandeur des triplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants[modifier | modifier le code]

Le premier triplet de nombres premiers géants fut découvert en 2008 par Norman Luhn et François Morain.
Il s'agit d'un triplet de la forme « (p, p + 2, p + 6) » avec « p = 2 072 644 824 759 × 233 333 − 1 ».

Depuis juillet 2012, le plus grand triplet de nombres premiers connu contient des nombres premiers de 10 082 chiffres (en base 10) et fut découvert par Peter Kaiser. Le triplet est de la forme « (p, p + 2, p + 6) » avec « p = 81 505 264 551 807 × 233 444 − 1 »[1]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en)primes.utm.edu University of Tennessee in Martin : The top twenty - triplet.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • (en)suite A098420 de l'OEIS, membres des triplets, sans doublon
  • (en)suite A022004 de l'OEIS, premiers termes des triplets (p, p+2, p+6)
  • (en)suite A073648 de l'OEIS, deuxièmes membres des triplets (p, p+2, p+6)
  • (en)suite A098412 de l'OEIS, troisièmes membres des triplets (p, p+2, p+6)
  • (en)suite A022005 de l'OEIS, premiers termes des triplets (p, p+4, p+6)
  • (en)suite A098413 de l'OEIS, troisièmes membres des triplets (p, p+4, p+6)
  • (en)mathworld.wolfram.com MathWorld : Prime triplet.