Logique épistémique

La logique épistémique est une sous-branche de la logique modale qui traite de la logique de la connaissance d'agents pris individuellement. Son nom est tiré du nom grec epistḗmē qui signifie « connaissance » (du verbe epístamai « savoir »), d'où vient aussi le mot épistémologie. Ses créateurs sont Edward John Lemmon  (en) et Jaakko Hintikka. Elle est complétée par la logique de la connaissance commune qui met en œuvre plusieurs agents.

L'application de la logique épistémique à l'économie a été promue par Robert Aumann, Prix Nobel d'économie 2005.

En logique épistémique il y a plusieurs agents qui ont la capacité de raisonner en prenant en compte la connaissance qu'ils ont de certaines propositions ou la connaissance des autres agents. C'est typiquement la logique d'un joueur qui raisonne sur son jeu.

La logique épistémique règle donc les aspects logiques ayant trait à la connaissance d'un agent. Ici nous ne présentons que la logique épistémique propositionnelle. Il existe une modalité $K_i$ pour chaque agent $i$. Ainsi $K_i(\phi)$ signifie que l'agent $i$ sait $\phi$. La logique épistémique est donc une logique modale.

Les règles et les axiomes

La logique épistémique se formalise plus facilement en utilisant une approche à la Hilbert (les seules formules auxquelles on s'intéresse sont les théorèmes). Dans ce qui suit $\vdash \varphi$ doit se lire «$\varphi$ est un théorème». La logique épistémique satisfait les axiomes de la logique modale, mais avec une signification différente (voir ci-dessus). Certains philosophes n'acceptent que certains parmi les axiomes qui suivent, notamment parmi T, 4 et 5.

Les règles

• $\frac{\vdash_{taut}\varphi}{\vdash \varphi}$ Tautologie où $\vdash_{taut}\varphi$ signifie que $\varphi$ est une tautologie classique (ou intuitionniste).

• $\frac{\vdash \varphi \Rightarrow \psi \qquad \vdash \varphi}{\vdash \psi}$ modus ponens

• $\frac{\vdash\varphi}{\vdash K_i(\varphi)}$ règle de nécessitation ou de généralisation

Les axiomes

• $\vdash K_i(\varphi \Rightarrow \psi) \Rightarrow (K_i(\varphi) \Rightarrow K_i(\psi))$ axiome de distribution ou axiome K.

• $\vdash K_i(\varphi) \Rightarrow \varphi$ axiome de la connaissance ou axiome T ou encore axiome de vérité.

• $\vdash K_i(\varphi) \Rightarrow K_i(K_i(\varphi))$ axiome d'introspection positive ou 4.

• $\vdash \neg K_i(\varphi) \Rightarrow K_i( \neg K_i(\varphi))$ axiome d'introspection négative ou 5.

La signification des règles et des axiomes

La règle Tautologie dit que toutes les propositions qui sont des théorèmes (c'est-à-dire des tautologies) de la logique classique (ou intuitionniste) sont des théorèmes de la logique épistémique.

Le modus ponens est la règle bien connue depuis Aristote qui permet de faire des déductions.

La règle de généralisation signifie que les agents raisonnent parfaitement et sont à même de connaître tous les faits pour lesquels il existe une démonstration.

L'axiome K montre comment l'agent peut faire des déductions à partir de ce qu'il connaît.

L'axiome T dit que les agents ne connaissent que des choses «vraies», autrement dit, si un agent connaît quelque chose alors cette chose est vraie.

L'axiome 4 dit que si un agent sait quelque chose, alors il sait qu'il le sait.

L'axiome 5 dit que si un agent ne sait pas quelque chose, alors il sait qu'il ne le sait pas.

T, S4 et S5

La logique $\mathbb{T}$ est formée des règles et des axiomes K et T. La logique $\mathbb{S}\mathbf{4}$ est $\mathbb{T}$ augmentée de 4. La logique $\mathbb{S}\mathbf{5}$ est $\mathbb{S}\mathbf{4}$ augmentée de 5.

Les modèles

Les modèles de la logique épistémique sont des modèles de Kripke adaptés spécifiquement aux modalités $K_i$.

Présentation intuitive

L'idée de Kripke est que chaque agent imagine des mondes dans lesquels telle ou telle proposition est réalisée et telle ou telle autre ne l'est pas. En fonction du monde où l'agent se trouve, tel autre monde lui paraît possible ou impossible. Donc pour chaque agent dans un monde donné, certains mondes lui paraissent accessibles à son imagination d'autres pas. La relation qui relie les mondes entre eux est la relation d'accessiblité. Il y a une relation d'accessiblité pour chaque agent. S'il y a n agents, il y a donc n relations d'accessiblité étiquettée chacune par le nom de l'agent.

On définit enfin une relation de réalisabilité entre un monde et une proposition. Un monde réalise la proposition $\varphi$ signifiera que la proposition se trouve être «vraie» dans ce monde.

Présentation formelle

Dans un modèle de Kripke, on distingue:

• un univers $\mathcal{U}$ dont les éléments notés $m$ sont appélés des mondes,

• pour chaque agent $i$ une relation $\equiv_i$ dite relation d'accessibilité pour $i$,

• une relation $\Vdash$ de réalisabilité entre un monde $m$ et une proposition $\varphi$, on écrit $m\Vdash \varphi$ et on lit $m$ réalise $\varphi$.

Un cône est un ensemble $C$ de mondes ($C\subseteq\mathcal{U}$) tels

• si $m\in C$
• et si pour tout $i$ entre $1$ et $n$, on a $m\equiv_i m'$,

alors $m'\in C$.

Une intitalisation est une application $I$ qui associe à chaque variable un cône de $\mathcal{U}$.

Le triplet $\mathcal{M} = \langle\mathcal{U}_\mathcal{M},\{\equiv_1,...,\equiv_n\}, I_\mathcal{M}\rangle$ s'appelle un modèle ou une structure de Kripke. S'il n'y a pas d'ambiguïté on abandonne les indices $\mathcal{M}$.

La relation de réalisabilité, notée $\Vdash_\mathcal{M}$, ou $\Vdash$ quand il n'y a pas d'ambiguïté, se définit par induction sur la structure des propositions.

• Si $\varphi$ est une variable $x$, $m\Vdash x$ si et seulement si $m\in I$.
• Si $\varphi= K_i(\psi)$, alors $m\Vdash\varphi$ si et seulement pour tout monde $m'\in\mathcal{U}$ tel que $m\equiv_i m'$ on a $m'\Vdash\psi$.
• Si $\varphi=\varphi_1 \vee \varphi_2$, $m\Vdash \varphi$ si et seulement si $m\Vdash \varphi_1$ ou $m\Vdash \varphi_2$.
• Et ainsi de suite pour chaque connecteur.

On dit que $\varphi$ est valide dans $\mathcal{M}$ ou que $\mathcal{M}$ modélise $\varphi$, noté $\mathcal{M}\vDash\varphi$, si pour $m\in\mathcal{U}_\mathcal{M}$, on a $m\Vdash\varphi$.

Validité

Une proposition $\varphi$ est valide (noté $\vDash\varphi$) si pour tout modèle $\mathcal{M}$ on a $\mathcal{M}\vDash\varphi$. Autrement dit, une proposition $\varphi$ est valide si pour tout modèle $\mathcal{M}$ et tout monde $m$ dans ce modèle, $m\Vdash \varphi$.

Théorème de correction

Toute proposition prouvable est valide. Autrement dit, si $\vdash\varphi$ alors $\vDash\varphi$

Complétude

Complétude de T

Si l'on considère les modèles où les relations d'accessibilité sont réflexives alors toute proposition valide est prouvable dans $\mathbb{T}$.

Complétude de S4

Si l'on considère les modèles où les relations d'accessibilité sont des relations de préordre (réflexives et transitives) alors toute proposition valide est prouvable dans $\mathbb{S}_4$.

Complétude de S5

Si l'on considère les modèles où les relations d'accessibilité sont des relations d'équivalence (réflexives, transitives et symétriques) alors toute proposition valide est prouvable dans $\mathbb{S}_5$.

Sources

• J-J Ch. Meyer and W van der Hoek Epistemic Logic for Computer Science and Artificial Intelligence, volume 41, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press, 1995 (ISBN 052146014X)

• R. Fagin, J. Y. Halpern, Y. Moses, and M. Y. Vardi. Reasoning about Knowledge, The MIT Press, 1995 (ISBN 0-262-56200-6)