Logique de la connaissance commune

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La logique de la connaissance commune est une extension de la logique épistémique qui formalise la notion de connaissance commune (ou de savoir commun) d'un groupe d'agents dans un sens fort.

L'application de la logique de la connaissance commune à l'économie a été promue par Robert Aumann, « Prix Nobel » d'économie 2005.

Un exemple[modifier | modifier le code]

Dans un premier temps, envisageons une situation très simple. Considérons un groupe constitué de deux agents Alice et Bernard. Supposons que chacun conduit une voiture en France et se présente à une intersection. Bernard arrive sur la voie située à gauche de celle d'Alice. Alice va-t-elle s'engager sur l'intersection ?

Le raisonnement que fait Alice (et que fait instinctivement chaque conducteur) est le suivant. « Je m'engage parce que le code de la route dit que je peux le faire et parce je sais que Bernard ne va pas s'engager, parce que Bernard sait que le code de la route ne l'autorise pas à le faire et parce qu'il sait qu'Alice qui connait le code de la route, peut s'y engager si elle a le droit de le faire et parce qu'elle sait qu'il connait le code de la route et qu'il ne se s'engagera que si etc. ». Plus simplement, Alice va s'engager dans l'intersection parce que le code de la route l'y autorise, mais aussi parce qu'elle sait que le code de la route l'y autorise, mais aussi parce qu'elle sait que Bernard sait qu'elle sait que le code de la route l'y autorise et qu'elle sait que Bernard sait qu'elle sait que Bernard sait que le code de la route l'y autorise et ainsi de suite. Il y a une conjonction infinie de connaissances.

On dit alors plus simplement qu’Alice s'engagera dans l'intersection parce qu'elle sait qu'elle peut le faire sans danger, parce que la règle de la priorité à droite du code de la route français est une connaissance commune du groupe constitué d'Alice et de Bernard.

Connaissance partagée et connaissance commune[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe d'agents, \varphi une proposition et i dans G. On note alors K_i(\varphi) la proposition : l'agent i connaît \varphi. On dit alors que \varphi est une connaissance partagée du groupe G si tout agent de G connaît \varphi, autrement dit si :

\forall i\in G, K_i(\varphi).

On peut alors définir une nouvelle proposition E_G(\varphi) qui signifie : \varphi est une connaissance partagée dans le groupe G. On peut écrire :

E_G(\varphi) = \bigwedge_{i\in G} K_i(\varphi) (où \,\wedge est la conjonction). Donc E_G(\varphi) peut se lire \,\varphi est un fait connu de tout le groupe G, ou le groupe G sait que \,\varphi.

La connaissance partagée peut s'itérer ainsi E_G^3(\varphi) signifie le groupe G sait que le groupe G sait que le groupe G sait que \,\varphi, tandis que E_G^k(\varphi) signifie le groupe G sait que [répété k fois] la proposition \,\varphi est vraie.

La connaissance commune est alors C_G(\varphi) = \bigwedge_{k=0}^{\infty}E_G^k(\varphi).

Sources[modifier | modifier le code]

  • J-J Ch. Meyer and W van der Hoek Epistemic Logic for Computer Science and Artificial Intelligence, volume 41, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press, 1995. (ISBN 0-52146-014-X)
  • R. Fagin, J. Y. Halpern, Y. Moses, and M. Y. Vardi. Reasoning about Knowledge, The MIT Press, 1995. (ISBN 0-26256-200-6)