Théorie de Dempster-Shafer

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La théorie de Dempster-Shafer est une théorie mathématique basée sur la notion de preuves[1] utilisant les fonctions de croyance et le raisonnement plausible. Le but de cette théorie est de permettre de combiner des preuves distinctes pour calculer la probabilité d'un évènement. Cette théorie a été développée par Arthur P. Dempster (en) et Glenn Shafer. Elle est aussi appelée théorie des croyances ou théorie de l’évidence.

Formalisme mathématique[modifier | modifier le code]

Soit X\,\! un univers, c’est-à-dire un ensemble contenant tous les éléments auxquels on s’intéresse. L’ensemble de ses parties, \mathcal{P}(X)\,\!, est l’ensemble de tous les sous-ensembles de X\,\!, y compris l’ensemble vide \varnothing. Par exemple, si:

X = \left \{ a, b \right \} \,\!

alors

\mathcal{P}(X) = \left \{ \varnothing, \left \{ a \right \}, \left \{ b \right \}, X \right \}. \,\!

Les éléments de l’ensemble des parties de X\,\! peuvent être interprétés comme des propositions, un élément représentant les états qu’il contient. Par exemple, on peut interpréter l’élément \left \{ a \right \} comme « la proposition a est vérifiée » ou « on est dans l’état a », ou encore \left \{ a,b \right \} comme « on est soit dans l’état a, soit dans l’état b ».

Notion de masse[modifier | modifier le code]

On définit la masse de la manière suivante :

  • la masse de l’ensemble vide est 0 :
m(\varnothing) = 0. \,\!
  • la somme des masses des autres sous-ensembles vaut 1 :
\sum_{A \in \mathcal{P}(X)} m(A) = 1. \,\!


La masse m(A) \,\! d'un élément donné A\,\! de l’ensemble des parties exprime la proportion de toutes les preuves disponibles affirmant que l'état actuel est A\,\! et pas un autre état ou un sous-état de A\,\!. La valeur de m(A)\,\! concerne donc seulement l’état A\,\! et n’apporte aucun crédit aux sous-ensembles de A\,\!, chacun d’eux ayant, par définition, sa propre masse.

À partir de la valeur de la masse d’un état, on peut définir un intervalle de probabilité. Cet intervalle contient la valeur précise de la probabilité de l’état, et est borné par deux mesures appelées croyance et plausibilité:

\operatorname{bel}(A) \le P(A) \le \operatorname{pl}(A).\,\!


La croyance \operatorname{bel}(A)\,\! d'un ensemble A\,\! est définie comme la somme des masses de tous ses sous-ensembles (pas nécessairement propres) :

\operatorname{bel}(A) = \sum_{B \mid B \subseteq A} m(B).

La plausibilité \operatorname{pl}(A)\,\! est définie comme la somme des masses de tous les ensembles B\,\! qui intersectent A\,\!:

\operatorname{pl}(A) = \sum_{B \mid B \cap A \ne \varnothing} m(B)


Ces deux mesures sont liées : \operatorname{pl}(A) = 1 - \operatorname{bel}(\overline{A}).\,\!

De ce fait, la connaissance d’une seule de ces valeurs (masse, croyance ou plausibilité) suffit à déduire les deux autres.

Combinaison de preuves et de masses[modifier | modifier le code]

Le problème qui se pose maintenant est de savoir comment combiner deux ensembles indépendants et leurs masses. La règle de combinaison originale, connue en tant que règle de combinaison de Dempster, est une généralisation du théorème de Bayes. Ce théorème met clairement en valeur l’accord entre des sources multiples et ignore les conflits grâce à un facteur de normalisation. L’utilisation de ce théorème pose ainsi problème lorsque des conflits significatifs ont lieu entre différentes sources d’information.

Ici, la combinaison ou masse jointe est calculée à partir des deux masses m_1\,\! et m_2\,\! de la manière suivante :

m_{1,2}(\varnothing) = 0 \,\!
m_{1,2}(A) = \frac {1}{1 - K} \sum_{B \cap C = A \ne \varnothing} m_1(B) m_2(C) \,\!

K = \sum_{B \cap C = \varnothing} m_1(B) m_2(C). \,\!

K\,\! est une mesure du niveau de conflit entre les deux masses. Le facteur de normalisation 1-K\,\! permet d’ignorer ces conflits et d’attribuer toute masse impliquée dans le conflit à l’ensemble nul. De ce fait, cette opération donne des résultats contre-intuitifs face à des conflits significatifs, dans certains contextes

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Shafer, Glenn; A Mathematical Theory of Evidence, Princeton University Press, 1976

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]