Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

En théorie des probabilités, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, est une inégalité de concentration permettant de montrer qu'une variable aléatoire prendra avec une faible probabilité une valeur relativement lointaine de son espérance. Ce résultat s'applique dans des cas très divers, nécessitant la connaissance de peu de propriétés (seules l'espérance et la variance doivent être connues), et permet de démontrer la loi faible des grands nombres.

Ce théorème doit son nom aux mathématiciens Irénée-Jules Bienaymé, qui fut le premier à le formuler, et Pafnouti Tchebychev qui le démontra.

Énoncé

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mathbb {E} [X]$ et de variance $\sigma ^{2}$ avec $\sigma$ l'écart type de $X$ (l'hypothèse de variance finie garantit l'existence de l'espérance).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce de la façon suivante :

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — Pour tout réel strictement positif $\alpha$,

$\mathbb {P} \left(\left|X-\mathbb {E} [X]\right|\geq \alpha \right)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\alpha ^{2}}}\,.$

Autrement dit, la probabilité que X s'éloigne de plus de $\alpha$ de son espérance est plus petite que ${\frac {\sigma ^{2}}{\alpha ^{2}}}$. La démonstration est une simple application de l'inégalité de Markov à la variable $(X-\mathbb {E} [X])^{2}$ et au réel $\alpha ^{2}$ strictement positif compte tenu du fait que $\{|X-\mathbb {E} [X]|\geq \alpha \}=\{(X-\mathbb {E} [X])^{2}\geq \alpha ^{2}\}$.

Voir aussi

Article connexe

• Inégalité de Jensen
• Inégalité de Hoeffding