Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

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En théorie des probabilités, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de montrer qu'une variable aléatoire prendra avec une grande probabilité une valeur relativement proche de son espérance. Ce résultat s'applique dans des cas très divers, nécessitant la connaissance de peu de propriétés (seules l'espérance et la variance doivent être connues), et permet de démontrer la loi faible des grands nombres.

Ce théorème est nommé d'après les mathématiciens Irénée-Jules Bienaymé, qui fut le premier à le formuler, et Pafnouti Tchebychev qui le démontra[1].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit X une variable aléatoire d'espérance \mu et de variance finie \sigma^2 (l'hypothèse de variance finie garantit l'existence de l'espérance).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce de la façon suivante :

Théorème — Pour tout réel strictement positif \alpha,

 P\left(\left|X-\mu\right| \geq \alpha \right) \leq \frac{\sigma^2}{\alpha^2}\,.

La démonstration est une simple application de l'inégalité de Markov à la variable (X - \mathbb{E}(X))^2 et au réel \alpha^2 strictement positif.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Il existe une version plus générale de ce théorème. Soit X une variable aléatoire de {\textstyle L^p (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})}{\textstyle \Omega} est l'ensemble des réalisations, {\textstyle \mathcal{F}} est la tribu des événements et {\textstyle \mathbb{P}} la mesure de probabilité. Alors, l'inégalité de Tchebychev peut être énoncée de la façon suivante :

Inégalité de Tchebychev — Pour tout réel strictement positif \alpha,

 \mathbb{P} \left\{ \left \vert X \right \vert \geq \alpha \right \} \leq \frac {1}{\alpha^p} \mathbb{E} \left[ \left \vert X \right \vert^p \right]

La démonstration tient entièrement au fait que pour tout {\textstyle \alpha} strictement positif, {\textstyle \alpha^p  \mathbb{I}_{\left\{ \left \vert X \right\vert \geq \alpha\right\}} \leq \left \vert X \right \vert^p}. Ici, {\textstyle \mathbb{I}_A} désigne l'indicatrice de l'événement {\textstyle A}. En prenant l'espérance de chaque côté, par monotonicité, on trouve {\displaystyle \mathbb{E} \left[ \left \vert X \right \vert^p \right] \geq \mathbb{E} \left[ \alpha^p \mathbb{I}_{\left\{\left \vert X \right \vert \geq \alpha \right\}} \right] = \alpha^p \mathbb{E} \left[ \mathbb{I}_{\left\{\left \vert X \right \vert \geq \alpha \right\}} \right] = \alpha^p \mathbb{P} \left\{\left \vert X \right \vert \geq \alpha \right\}}On complète en divisant par {\textstyle \alpha^p} des deux côtés de l'inégalité. C.Q.F.D.

On voit immédiatement que le résultat cité plus haut n'est rien d'autre qu'un cas particulier de cette inégalité. Il suffit de prendre {\textstyle X = Y - \mathbb{E} \left[ Y \right]} et {\textstyle p = 2} pour obtenir exactement l'énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Journal de Mathématiques pures et appliquées, 2e série, XII, 1867, 177-184.

Articles connexes[modifier | modifier le code]