Inégalité de Markov

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En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une borne supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andrei Markov.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Inégalité de Markov —  Soit \scriptstyle\ Z\ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \scriptstyle\ \left(\Omega,\mathcal A,\mathbb P\right),\ et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors

\forall a >0,\qquad \mathbb P(Z\geqslant a)\leqslant\frac{\mathbb{E}[Z]}{a}.

Corollaire[modifier | modifier le code]

Elle possède un corollaire fréquemment utilisé:

Corollaire — Soit \scriptstyle\ \phi\ une fonction croissante et positive ou nulle sur l'intervalle \scriptstyle\ I.\ Soit \scriptstyle\ Y\ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \scriptstyle\ \left(\Omega,\mathcal A,\mathbb P\right),\ et telle que \scriptstyle\ \mathbb P(Y\in I)=1.\ Alors

\forall b \in I,\text{ tel que }\phi(b)>0,\qquad \mathbb P(Y\geqslant b)\leqslant\frac{\mathbb{E}[\phi(Y)]}{\phi(b)}.

Applications[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]