Inégalité de Markov

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une borne supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andrei Markov.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Inégalité de Markov —  Soit \scriptstyle\ Z\ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \scriptstyle\ \left(\Omega,\mathcal A,\mathbb P\right),\ et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors

\forall a >0,\qquad \mathbb P(Z\geqslant a)\leqslant\frac{\mathbb{E}[Z]}{a}.

Corollaire[modifier | modifier le code]

Elle possède un corollaire fréquemment utilisé:

Corollaire — Soit \scriptstyle\ \phi\ une fonction croissante et positive ou nulle sur l'intervalle \scriptstyle\ I.\ Soit \scriptstyle\ Y\ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \scriptstyle\ \left(\Omega,\mathcal A,\mathbb P\right),\ et telle que \scriptstyle\ \mathbb P(Y\in I)=1.\ Alors

\forall b \in I,\text{ tel que }\phi(b)>0,\qquad \mathbb P(Y\geqslant b)\leqslant\frac{\mathbb{E}[\phi(Y)]}{\phi(b)}.

Applications[modifier | modifier le code]

Exemple[modifier | modifier le code]

Les salaires étant positifs, le salaire moyen d'un cinquième de la population ne peut pas être plus grand que 5 fois le salaire moyen de la totalité de la population.

Voir aussi[modifier | modifier le code]