Inégalité de Tchebychev pour les sommes

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L’inégalité de Tchebychev pour les sommes est due à Pafnouti Tchebychev. Elle est un cas particulier de l'inégalité FKG[1] et de l'inégalité de Harris. Elle ne doit pas être confondue avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Inégalité de Tchebychev pour les sommes — Si \scriptstyle\ a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n\ et \scriptstyle\ b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,\ alors

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).

De même, si \scriptstyle\ a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n\ et \scriptstyle\ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n,\ alors

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).

Plus généralement, l'inégalité vaut pour des suites monotones, mais le sens des inégalités change lorsque les suites concernées ont des sens de monotonie opposés.

Version continue : inégalité de corrélation[modifier | modifier le code]

Il existe une version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes :

Théorème —  Si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, intégrables sur [0,1], toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), alors

 \int_{0}^1 fg \geq \int_{0}^1 f \times\int_{0}^1 g.\,

Une version plus générale est la suivante :

Inégalité de corrélation —  Pour toute variable aléatoire réelle X, si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), telles que f(X) et g(X) soient de carré intégrables sur [0,1], alors

 \text{Cov}\left(f(X),\,g(X)\right) \geq0,\,

ou bien, de manière équivalente,

 \mathbb{E}\left[f(X)g(X)\right] \geq \mathbb{E}\left[f(X)\right] \mathbb{E}\left[g(X)\right].\,
  • L'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de l'inégalité de corrélation par application du théorème de transfert pour les variables aléatoires réelles : il suffit de choisir, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme discrète sur \scriptstyle\ [\![1,n]\!],\ puis de poser f(i)=ai et g(i)=bi .
  • La version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de de l'inégalité de corrélation de manière analogue, en choisissant, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme continue sur [0,1].
  • La démonstration de l'inégalité de corrélation est analogue à la démonstration de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes, telle que donnée dans cette page : cette démonstration figure, comme premier pas de la démonstration de l'inégalité FKG, sur la page correspondante.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Pages liées[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  1. (en) C. M. Fortuin, P. W. Kasteleyn et J. Ginibre, « Correlation inequalities on some partially ordered sets », Communications in Mathematical Physics, vol. 22,‎ 1971, p. 89-103 (ISSN 0010-3616, présentation en ligne)