En analyse numérique, l'interpolation newtonienne, du nom d'Isaac Newton, est une méthode d'interpolation polynomiale permettant d'obtenir le polynôme de Lagrange comme combinaison linéaire de polynômes de la « base newtonienne ».
Contrairement à l'interpolation d'Hermite par exemple, cette méthode ne diffère de l'interpolation lagrangienne que par la façon dont le polynôme est calculé, le polynôme d'interpolation qui en résulte est le même. Pour cette raison on parle aussi plutôt de la forme de Newton du polynôme de Lagrange.
Étant donnés
points
(les xj tous distincts 2 à 2), l'interpolation polynomiale dans une base de Newton est une combinaison linéaire de polynômes appartenant à cette base
![{\displaystyle N(x)=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fade6657fc409c3b2c76a9e302119b8cc97cce3)
avec les polynômes de Newton définis de la manière suivante
![{\displaystyle n_{j}(x)=\prod _{0\leq i<j}(x-x_{i})\qquad j=0,\ldots ,k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3534f6132edb38b695879714701442b1e7e2645b)
(en particulier
, le produit vide)
et les coefficients égaux aux différences divisées :
![{\displaystyle a_{j}=[y_{0},\ldots ,y_{j}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef3fdba4ef6ddc6779915581341d6ea40675fe7)
En résumé :
Le polynôme d'interpolation de Newton
associé à
points
est défini par :
![{\displaystyle N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\ldots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})\ldots (x-x_{k-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130e15ff54536a3beb753b8383c2ba66978c7542)
Le théorème suivant justifie le nom de « polynôme d'interpolation » pour
:
Ce polynôme
est égal au polynôme d'interpolation de Lagrange associé aux
points, c'est-à-dire à l'unique polynôme
de degré inférieur ou égal à
vérifiant :
Démonstration
Montrons d'abord, par récurrence sur
, que le coefficient de degré
de
est égal à
. Pour
point, cette égalité est immédiate. Supposons-la vraie pour
points, et notons
le polynôme d'interpolation associé aux
premiers points (d'indices
à
) et
celui associé aux
derniers (d'indices
à
). Alors,
![{\displaystyle L(x)={\frac {(x-x_{0})Q(x)-(x-x_{k})P(x)}{x_{k}-x_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a26329190c2b9d62b37a7c9f952556a3520750)
donc (par hypothèse de récurrence) le coefficient de degré
de
est bien égal à
.
Avec les mêmes notations, montrons maintenant, à nouveau par récurrence sur
, que
. Pour
point, cette égalité est immédiate. Supposons-la vraie pour
points.
est de degré inférieur ou égal à
et nul en
et son coefficient de degré
est égal à celui de
donc, d'après ce qui précède, à
. Par conséquent,
est égal à
, c'est-à-dire (par hypothèse de récurrence) à
.
Le polynôme d'interpolation de Lagrange
appartient à l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à
, dont la « base de Newton »
définie ci-dessus est une base. D'après le théorème d'interpolation de Newton, les coordonnées de
dans
sont
, où les
sont les différences divisées. Une méthode naïve de calcul direct des coordonnées de
dans
serait de résoudre le système d'équations linéaires
,
qui se réécrit
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&&&&0\\1&x_{1}-x_{0}&&&\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&&\\\vdots &\vdots &&\ddots &\\1&x_{k}-x_{0}&\ldots &\ldots &\prod _{j=0}^{k-1}(x_{k}-x_{j})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{0}\\\vdots \\a_{k}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{0}\\\vdots \\y_{k}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca66cd0dab538b610690f7a6243e943893274e22)
Puisque ce système est échelonné et même triangulaire inférieur, on pourrait le résoudre de proche en proche en commençant par la ligne
qui nous donnerait
puis pour
, le calcul de
nous permettrait de déduire
, et ainsi de suite jusqu'à
.
Comme le montre la définition des différences divisées, des points supplémentaires peuvent être ajoutés pour créer un nouveau polynôme d'interpolation sans recalculer les coefficients. De plus, si un point est modifié, il est inutile de recalculer l'ensemble des coefficients. Autre avantage, si les xi sont équirépartis, le calcul des différences divisées devient nettement plus rapide. Par conséquent, la forme de Newton pour le polynôme d'interpolation est privilégiée par rapport à celle de Lagrange ou même par rapport à la méthode naïve ci-dessus, pour des raisons pratiques.
Le théorème d'interpolation de Newton permet de démontrer que toute fonction polynomiale est égale à sa série de Newton.
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