Différences divisées

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En mathématiques, les différences divisées correspondent à une discrétisation des dérivées successives d'une fonction. Ce sont des quantités définies et calculées de manière récursive en généralisant la formule du taux d'accroissement. Elles sont utilisées en particulier en interpolation newtonienne.

Définition

Étant donné n points

$(x_0, y_0),\ldots,(x_{n-1}, y_{n-1})$

les différences divisées sont définies de la manière suivante

$[y_{\nu}] = y_{\nu} \qquad \mbox{ , } \nu = 0,\ldots,n-1$

$[y_{\nu},\ldots,y_{\nu+j}] = \frac{[y_{\nu+1},\ldots y_{\nu+j}] - [y_{\nu},\ldots y_{\nu+j-1}]}{x_{\nu+j}-x_{\nu}} \qquad \mbox{ , } \nu = 0,\ldots,n-j,j=1,\ldots,n-1$

Notes

Si les points sont donnés à l'aide d'une fonction f(x)

$(x_0, f(x_0)),\ldots,(x_{n-1}, f(x_{n-1}))$

que l'on écrit généralement

$f[x_{\nu}] = f(x_{\nu}) \qquad \mbox{ , } \nu = 0,\ldots,n-1$

$f[x_{\nu},\ldots,x_{\nu+j}] = \frac{f[x_{\nu+1},\ldots x_{\nu+j}] - f[x_{\nu},\ldots x_{\nu+j-1}]}{x_{\nu+j}-x_{\nu}} \qquad \mbox{ , } \nu = 0,\ldots,n-j,j=1,\ldots,n-1$

Exemple

Les premières itérations donnent :

Ordre 0 :$[y_0] = y_0$

Ordre 1 :$[y_0,y_1] = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$

Ordre 2 :$[y_0,y_1,y_2] = \frac{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}-\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}{x_2-x_0}$

Pour expliciter le processus récursif, les différences divisées peuvent être calculées en les disposant de la manière suivante dans un tableau:

$\begin{matrix} x_0 & y_0 = [y_0] & & & \\ & & [y_0,y_1] & & \\ x_1 & y_1 = [y_1] & & [y_0,y_1,y_2] & \\ & & [y_1,y_2] & & [y_0,y_1,y_2,y_3]\\ x_2 & y_2 = [y_2] & & [y_1,y_2,y_3] & \\ & & [y_2,y_3] & & \\ x_3 & y_3 = [y_3] & & & \\ \end{matrix}$

Application

La méthode des différences divisées est utilisée dans le calcul des coefficients dans une interpolation newtonienne (méthode particulière d'une interpolation polynomiale).

Voir aussi

• Différences finies

Liens externes

Interpolation polynômiale de type Newton et différences divisées.