Immersion (mathématiques)

Immersion — nécessairement non injective — de la bouteille de Klein dans R³.

En géométrie différentielle, une immersion est une application différentiable d'une variété différentielle dans une autre, dont la différentielle en tout point est injective.

Soient $V$ et $W$ deux variétés, $x$ un point de $V$ et $f$ une application différentiable de $V$ dans $W$.

On dit que $f$ est une immersion au point $x$ si l'application linéaire tangente $Tf(x)$ est surjective, autrement dit, en supposant $V$ de dimension finie, si le rang de l'application linéaire tangente $Tf(x)$ est égal à la dimension de $V$.

Dès lors, $f$ est une immersion (ou une application immersive) si pour tout $x\in V$, $f$ est une immersion au point $x$.

On la différencie :

• de la submersion (le rang de $Tf(x)$ est égal à la dimension de $W$);
• du plongement (en plus d'être une immersion, $f$ est un homéomorphisme de $V$ sur $f(V)$).

Théorème

Soit $U$ une partie ouverte de ${\mathbb {R}}^{p}$,$f$ une immersion injective de $U$ dans ${\mathbb {R}}^{n}$. On suppose que l'application $f^{-1}$de $V=f(U)$ sur $U$ est continue. Alors $V$ est une variété de ${\mathbb {R}}^{n}$ de dimension $p$.

Article connexe

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