Discussion:Immersion (mathématiques)
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Euh... J'ai un doute... La bouteille de Klein est-elle vraiment une immersion valide dans R³ !???[modifier le code]
Bonjour 
Theon et Anne Bauval :,
J'avais écrit un petit texte pour expliquer avec la bouteille de Klein, la différence entre immersion et plongement :
- « Le cas de la bouteille de Klein (voir encadré à droite), illustre bien la différence entre l'immersion et le plongement : Pour réaliser l’immersion dans R³, il est nécessaire de pratiquer dans la paroi de la bouteille, un trou permettant au col de rentrer à l'intérieur de celle-ci, sans qu'il n'y ait d'intersection entre la paroi et le col (Sinon, l'application qui représente l'immersion ne serait plus injective car la bouteille de Klein elle-même est une surface sans bord et ne présente pas de singularité telle que serait une telle intersection). Cependant la présence de ce trou crée un bord à la surface et modifie sa topologie ce qui fait qu'il n'y a pas homéomorphisme entre la surface et son immersion dans R³. Pour préserver la topologie de la bouteille, il est nécessaire de la plonger dans R⁴ et dans ce cas le col passe, dans la 4ème dimension, par un autre endroit que la paroi, les deux ne s'intersectent pas. »
… et puis finalement, je ne suis pas trop sûr que ça soit correct et que la bouteille de klein soit une immersion valide…, parce que je vois mal comment l'immersion pourrait être à la fois injective et différentiable. En effet, sans le trou, l'application n'est plus injective, mais avec le trou, elle devient discontinue et n'est donc plus différentiable aux bord de ce trou. -- Camion (discuter) 3 septembre 2017 à 04:02 (CEST)
- Ce n'est pas l'application qui est injective, mais sa différentielle. Donc plusieurs points de la variété peuvent se retrouver au même endroit dans R³. Il n'est donc pas correct de dire qu'on pratique un trou dans la bouteille. Il n'y a pas de trous. La surface s'intersecte. Une analogie en dimension 2 pourrait être donnée par le lemniscate de Bernoulli, courbe comparable à un cercle mais qui s'intersecte dans le plan. Si on se place en dimension 3, on pourrait supprimer cette intersection en soulevant et en abaissant un peu chacune des deux parties de la courbe qui se coupent. Theon (discuter) 3 septembre 2017 à 10:23 (CEST)