Conjecture de Keller
- Pour la conjecture de Keller sur les fonctions polynomiales voir la conjecture jacobienne.
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En géométrie, la conjecture de Keller est la conjecture introduite par Ott-Heinrich Keller (de) en 1930 que dans tout pavage de l'espace euclidien par des hypercubes identiques, on trouve deux hypercubes qui ont une face entière en commun. Par exemple, comme illustré ci-contre, dans tout pavage du plan par des carrés identiques, il y a une paire de carrés qui ont un côté entier en commun.
Cette conjecture de Keller a été montrée dans les dimensions inférieures ou égales à 6 par Oskar Perron en 1940. Mais pour des dimensions supérieures cette conjecture est fausse, comme montré en dimension 10 et plus par Jeffrey Lagarias et Peter Shor en 1992, puis à partir de la dimension 8 par John Mackey en 2002, via une reformulation du problème en termes de cliques de certains graphes, aujourd'hui appelés graphes de Keller. Enfin, en 2019, une preuve assistée par ordinateur d'environ 200 Go utilisant ces graphes a permis d'établir que la conjecture est vraie en dimension 7[1],[2],[3],[4],[5]. Par conséquent, cela résout la question posée par Keller : la conjecture est vraie jusqu'en dimension 7, et fausse dans les dimensions supérieures à 7.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Joshua Brakensiek, Marijn Heule, John Mackey et David Narváez, « The Resolution of Keller's Conjecture », 10th International Joint Conference on Automated Reasoning, IJCAR 2020, Paris, France, Springer, lecture Notes in Computer Science, vol. 12166, , p. 48-65 (DOI 10.1007/978-3-030-51074-9_4, arXiv 1910.03740)
- (en) « The Resolution of Keller's Conjecture », sur Carnegie Mellon University (consulté le )
- (en) Byron Spice, « CMU Scientists Solve 90-Year-Old Geometry Problem », sur Carnegie Mellon University, (consulté le )
- « Des informaticiens et des mathématiciens ont fini par résoudre un problème de géométrie vieux de 90 ans », sur Atlantico, (consulté le )
- « Revue de presse octobre 2020 », sur Images des mathématiques, (consulté le )
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Keller's conjecture » (voir la liste des auteurs).
- (de) O.-H. Keller, « Über die lückenlose Erfüllung des Raumes mit Würfeln », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 163, 1930, p. 231-248 DOI 10.1515/crll.1930.163.231, Zbl 56.1120.01
- (en) Jeffrey C. Lagarias et Peter W. Shor, « Keller's cube-tiling conjecture is false in high dimensions », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 27, n° 2, 1992, p. 279-283 [lire en ligne]
- (en) John Mackey, « A cube tiling of dimension eight with no facesharing », Discrete & Computational Geometry, vol. 28, n° 2, 2002, p. 275-279 DOI 10.1007/s00454-002-2801-9
- (de) Oskar Perron, « Über lückenlose Ausfüllung des n-dimensionalen Raumes durch kongruente Würfel », Mathematische Zeitschrift, vol. 46, 1940, p. 1-26 DOI 10.1007/BF01181421 et 161-180 DOI 10.1007/BF01181436
