Formulaire de développements en séries

Ce formulaire de développements en séries recense des développements en séries de fonctions pour les fonctions de référence (pour la plupart, des séries entières, et quelques séries de Laurent). Elles sont données avec indication du domaine de convergence (le rayon de convergence pour les séries entières) dans le champ complexe ou réel. La notation $D(a,r)$ représente la boule ouverte de $\mathbb {C}$ centrée en $a$ et de rayon $r$ et $B_{n}$ est le n-ième nombre de Bernoulli.

Binômes

• $\forall x\in D(0,1),\,{1 \over {1-x}}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{x^{n}}.$
• $\forall x\in \,]-1,1[,\ \forall \alpha \in \mathbb {R} ,\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum _{n=1}^{+{\infty }}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\ldots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}.$

En particulier :

• $\forall x\in \mathbb {R} ,\,\forall m\in \mathbb {N} ,\,(1+x)^{m}\,=1\;+\;\sum _{n=1}^{m}{{\frac {m\,(m-1)\ldots (m-n+1)}{n!}}\,x^{n}}=\sum _{n=0}^{m}{{m \choose n}\,x^{n}}.$

• $\forall x\in \,[-1,1],\ {\sqrt {1+x}}\,=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{{\frac {(-1)^{n+1}}{2n-1}}{\frac {\binom {2n}{n}}{2^{2n}}}\,x^{n}}.$
• $\forall x\in \,]-1,1[,\ \forall \alpha \in \mathbb {R} ,\,{\frac {1}{(1-x)^{\alpha }}}\,=1\;+\;\sum _{n=1}^{+{\infty }}{{\frac {\alpha \,(\alpha +1)\ldots (\alpha +n-1)}{n!}}\,x^{n}}.$
• $\forall x\in \,]-1,1[,\ \forall m\in \mathbb {N} ^{*},\,{\frac {1}{(1-x)^{m}}}\,=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{{\binom {m+n-1}{n}}\,x^{n}}$ (formule du binôme négatif).
• $\forall x\in \,[-1,1[,\ {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}\,=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{{\frac {\binom {2n}{n}}{2^{2n}}}\,x^{n}}.$

Fonctions exponentielles et logarithmiques

Pour tout nombre complexe z et tout réel a > 0 :

• ${\rm {e}}^{z}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+\cdots$
• $a^{z}={\rm {e}}^{z\ln a}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(\ln a)^{n}}{n!}}{z^{n}}=1+{\frac {\ln a}{1!}}z+{\frac {(\ln a)^{2}}{2!}}z^{2}+{\frac {(\ln a)^{3}}{3!}}z^{3}+{\frac {(\ln a)^{4}}{4!}}z^{4}+\cdots$
• $|z|\leq 1{\text{ et }}z\neq -1\Rightarrow \ln(1+z)=\sum _{n=1}^{+\infty }{(-1)^{n+1}{\frac {z^{n}}{n}}}=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots$

Fonctions trigonométriques et trigonométriques réciproques

• $\forall x\in \mathbb {C} ,\,\sin x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2n+1}}{(2\,n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$
• $\forall x\in \mathbb {C} ,\,\cos x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2n}}{(2\,n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$
• $\forall x\in D(0,{\frac {\pi }{2}}),\tan x=\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}\,{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}B_{2n}x^{2n-1}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+{\frac {62}{2835}}x^{9}+\cdots$
• $\forall x\in \,\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[,\,\tan x={\frac {2}{\pi }}\,\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,{\left({\frac {x}{\pi }}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2)\quad {\text{avec}}\;\forall p>1,\,\zeta (2p)=\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,{\frac {1}{n^{2p}}}={\frac {|B_{2p}|(2\pi )^{2p}}{2(2p)!}}$ où $\zeta$ est la fonction zêta de Riemann et les $B_{k}$ sont les nombres de Bernoulli.
• $\forall x\in D(0,\pi )\setminus \lbrace 0\rbrace ,\cot x={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}B_{2n}x^{2n-1}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}\cdots$
• $\forall x\in [-1,1],\,\arcsin x=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{2^{2n}}}\times {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}=x+{\frac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdot$
• $\forall x\in [-1,1],\,\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{2^{2n}}}\times {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}={\frac {\pi }{2}}-\left(x+{\frac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \right)$
• $\forall x\in [-1,1],\arctan x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots$ et en particulier, pour $x=1$, $\pi =4\,\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{2\,n+1}}$.
• $\forall x\in [-1,1],\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}={\frac {\pi }{2}}-\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \right)$
• $\forall x\in [-1,1],\arcsin ^{2}x={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2x)^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}=x^{2}+{\frac {x^{4}}{3}}+{\frac {8x^{6}}{45}}+\cdots$

Fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques

• $\forall x\in \mathbb {C} ,\,\sinh x=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2\,n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$
• $\forall x\in \mathbb {C} ,\,\cosh x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{2n}}{(2\,n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$
• $\forall x\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[,\operatorname {tanh} \,x=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}B_{2n}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots$
• $\forall x\in ]0,\pi [,\coth x={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}B_{2n}x^{2n-1}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}+{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots$
• $\forall x\in [-1,1],\,\operatorname {arsinh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)=x+\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,(-1)^{n}{\frac {\binom {2n}{n}}{2^{2n}}}\times {\frac {x^{2n+1}}{2\,n+1}}=x-{\frac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots$
• $\forall x\in [1,+\infty [,\,\operatorname {arcosh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{+\infty }\,{\frac {\binom {2n}{n}}{2^{2n}}}\times {\frac {1}{2n\times x^{2n}}}=\ln(2x)-{\frac {1}{2\cdot 2x^{2}}}-{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 4x^{4}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 6x^{6}}}-\cdots$
• $\forall x\in ]-1,1[,\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots$
• $\forall x\in ]-\infty ,1[\cup ]1,+\infty [,\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)=\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,{\frac {1}{(2n+1)\times x^{2n+1}}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{3x^{3}}}+{\frac {1}{5x^{5}}}+{\frac {1}{7x^{7}}}+\cdots$
• $\forall x\in [-1,1],{\text{arsinh}}^{2}x=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {(2x)^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}=x^{2}-{\frac {x^{4}}{3}}+{\frac {8x^{6}}{45}}+\cdots$

Voir aussi

• Liste de fonctions numériques
• Formule du binôme de Newton