Discussion:Nombre irrationnel/Bon article

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Gemini1980 oui ? non ? 10 décembre 2017 à 03:02 (CET)

Nombre irrationnel

Proposé par : Gokimines (discuter) 25 novembre 2017 à 15:04 (CET)

L'article présente à la fois les aspects historiques et les aspects mathématiques du sujet. En ce qui concerne l'aspect historique, les sections utilisent des sources secondaires récentes, et les principales thèses en vigueur concernant l'Antiquité grecque sont mentionnées.

En ce qui concerne les aspects mathématiques, l'article traite aussi bien des nombres irrationnels en tant que tels que des propriétés de leur ensemble, le tout avec des sources secondaires reconnues par la communauté mathématique, en particulier pour les livres.

Concernant la section d'exemples, les méthodes ayant abouti à l'élaboration des preuves d'irrationalité sont données dans la mesure du possible.

La forme de l'article a été relue.

Votes

Format : Motivation, signature.

Bon article

1.  Bon article Proposant. --Gokimines (discuter) 25 novembre 2017 à 15:10 (CET)
2.  Bon article Quelle somme ... encyclopédique! Bravo ! perso j'adore absolument la fin sur l’irrationalité de la constante de Brun qui démontrerait la conjecture des nombres premiers jumeaux, trop top ^^ dommage, rien à ce propos sur constante de Brun - c'est vrai que ça semble trop beau pour être vrai, d'autant que je ne vois pas trop la connexion après la lecture de constante de Brun... N'y aurait-il pas une ref ?--Titou (d) 27 novembre 2017 à 14:21 (CET)

   Cette affirmation est donnée dans la version anglaise de l'article sur la constante de Brun ( https://en.wikipedia.org/wiki/Brun%27s_theorem ) : "Brun's constant could be an irrational number only if there are infinitely many twin primes.". En fait c'est un résultat quasi-trivial : s'il y a un nombre fini de nombres premiers jumeaux alors la constante de Brun est rationnelle en tant que somme finie de rationnels, donc si elle est irrationnelle alors par contraposée c'est qu'il y a un nombre infini de nombres premiers jumeaux. Je viens d'ajouter une précision à ce sujet. --Gokimines (discuter) 27 novembre 2017 à 15:46 (CET)

   Super! merci bcp, je l'ai ajouté également sur Constante de Brun--Titou (d) 28 novembre 2017 à 12:44 (CET)

3.  Bon article Beau travail. Je trouve néanmoins que la remarque de Malosse est pertinente : avoir la démonstration pour rac(2), lisible par des collégiens et bel exemple de raisonnement par l'absurde, serait une amélioration de l'article. Quitte à ce qu'elle soit en boîte déroulante que le lecteur choisit d'ouvrir ou non selon son degré d'expertise. --Cbyd (discuter) 1 décembre 2017 à 20:44 (CET)

   C'est noté. J'ai ajouté la preuve en boîte déroulante à la fin de la première sous-section consacrée aux exemples. --Gokimines (discuter) 2 décembre 2017 à 00:15 (CET)

4.  Bon articleBon ensemble ; on pourrait évidemment critiquer le niveau de présentation choisi (trop de détails "triviaux" pour un mathématicien, quelques redondances), mais le but (rendre l'article accessible à tous) est atteint. Bravo.--Dfeldmann (discuter) 4 décembre 2017 à 09:35 (CET)
5.  Bon article Article volumineux, il surpasse celui des autres principales wikipédias. Article structuré et sourcé. Il comporte quelques liens rouges mais le nombre reste raisonnable. Mario93 (discuter) 5 décembre 2017 à 19:19 (CET)
6.  Bon article ‒ Quasar (D) 5 décembre 2017 à 20:29 (CET)

Neutre / autres

1.  Neutre Lecture très intéressante bien qu’extrêmement technique. Mes bases en algèbre ne sont pas suffisantes pour évaluer le fond de l’article ce qui explique ce vote « neutre ». L’article me semble néanmoins bien construit et faire le tour de la question. Il faudrait essayer de rajouter des sources car certaines sections en sont dépourvues (même si ça peut sembler trivial pour es mathématiciens). Pamputt ✉ 1 décembre 2017 à 23:49 (CET)

   En fait les sources ne sont pas manquantes, mais elles figurent dans les articles détaillés affichés en début de section. Elles n'ont pas été toutes reprises afin d'éviter de dupliquer des références et de compliquer la maintenance. --Gokimines (discuter) 2 décembre 2017 à 00:18 (CET)

Discussions

Toutes les discussions vont ci-dessous.

Remarques de Sebring12Hrs

De nombreux paragraphes et phrases ne sont pas sourcés, ou alors, les sources ne sont pas reliées au maximum : Histoire, Antiquité grecque, Étude des sous-ensemble... Sebring12Hrs (discuter) 26 novembre 2017 à 14:13 (CET)

Pour la partie historique, les sources sont données : je me suis limité à donner les références des chapitres des livres cités plutôt que les numéros de page parce que la granularité me paraît plus pertinente (un numéro de page, ça change avec l'édition du livre). Dans la partie mathématique, les sources sont dans l'article lui-même pour tout le contenu propre au présent article "nombre irrationnel", et lorsque le texte reprend en résumant le contenu d'un article détaillé, les sources sont dans l'article détaillé ce qui facilite la maintenance en évitant la duplication d'information. --Gokimines (discuter) 29 novembre 2017 à 10:16 (CET)

En principe, l’ISBN d’un livre correspond à une édition donc les pages peuvent être données (à moins que je me trompe). Pamputt ✉ 1 décembre 2017 à 23:52 (CET)

Remarque de Malosse

Je pense que c'est trop tôt pour que je vote. L'article est plus historique que mathématique.J'aurais démontré explicitement que ${\sqrt {2}}$ n'est pas rationnel. Pour l'anecdote, quelqu'un ma demandé la preuve à l'aérodrome et je l'ai faite sur un bout de papier minuscule. Cette preuve qui ne fait appel qu'à l'arithmétique de grand-papa est était accessible à un élève de l'École primaire préparant le Certificat d'études primaires. Je pense que cela serait une excellente introduction à la problématique des nombres non rationnels. Toujours au niveau École primaire, on pourrait mentionner la périodicité des chiffres décimaux pour un nombre rationnel et l'expliquer à partir de la cuisine qui est enseignée pour la pratique de la division (le reste doit se répéter car borné par la valeur du diviseur).

J'ai totalement loupé le concept de fraction continue car il n'est pas présenté sous une forme récursive (suite).

Malosse ^{[Un problème de météo ou de planeur?]} 29 novembre 2017 à 01:19 (CET)

Je ne suis pas d'accord avec vous.

À la louche, la partie historique fait 40% de l'article (et cela se comprend puisque pour la partie sur la Grèce, il y a pas mal de débat dont il faut rendre compte) ; la partie mathématique occupe les 60% restant et présente les propriétés des irrationnels en tant que tels, de l'ensemble des irrationnels et des exemples avec des preuves d'irrationalité associées, il me semble que c'est ce qu'il faut attendre d'un article encyclopédique sur les irrationnels.

La preuve de l'irrationalité de ${\sqrt {2}}$ est présente et démontrée : "La racine n-ième d'un entier N > 0 est irrationnelle, sauf si N est la puissance n-ième d'un entier.". La preuve historique n'est certes pas donnée mais un lien vers celle-ci (dans l'article consacré justement à ${\sqrt {2}}$) est donné dans la section sur la Grèce : L'une d'elle repose sur le principe du pair et de l'impair, elle est notamment citée par Aristote.

Pour le développement décimal, le théorème selon lequel le développement décimal est périodique si et seulement si le nombre est rationnel est mentionné, et l'article détaillé est en lien pour qui souhaite voir les détails. Le but est de ne pas paraphraser les articles détaillés pour faciliter la maintenance. J'ajoute qu'il y a toute une section consacrée à des exemples de preuves d'irrationalité basée sur la non-périodicité du développement décimal.

Pour les fractions continues, la problématique est la même : la présentation de l'objet mathématique est censée être dans l'article détaillé et serait hors sujet dans un article sur les rationnels, où l'on s'intéresse seulement aux liens entre irrationnels et fractions continues. Dupliquer le contenu compliquerait la maintenance des articles.--Gokimines (discuter) 29 novembre 2017 à 10:10 (CET)

Personnellement, l'existence de nombres irrationnels est un non problème car iceux sont beaucoup plus nombreux que les fractions (puissance du continu). En mathématiques, tout est basé sur la preuve et la preuve explicite que ${\sqrt {2}}$ n'est pas une fraction eût été la bienvenue comme illustration du concept. L'article (au moins le début) doit être accessible à un titulaire du Certificat d'études primaires. Malosse ^{[Un problème de météo ou de planeur?]} 29 novembre 2017 à 14:15 (CET)

L'histoire des mathématiques n'est pas d'accord avec vous sur l'existence des nombres irrationnels. La preuve concernant ${\sqrt {2}}$ est explicite puisqu'elle résulte d'un corollaire présent dans l'article, et que l'application directe à ${\sqrt {2}}$ est mentionnée au même endroit (et celui qui veut la preuve arithmétique dispose clairement dans l'article du lien pour aller la lire). J'ajoute que le début de l'article (ie l'introduction, une bonne partie de l'historique et plusieurs paragraphes de propriétés) sont accessibles à à un titulaire du certificat d'étude, et que l'immense majorité est accessible à un bachelier S.--Gokimines (discuter) 29 novembre 2017 à 16:10 (CET)

Je suis titulaire du Certificat d'études primaires et de quelques autres diplômes. Cependant, je trouve l'article indigeste et en particulier le problème des racines n-ième de l'unité. À part 1 (et peut-être -1), les autres racines sont complexes ($e^{2i\pi \over n}$) et déjà on n'est plus dans le domaine de connaissances du lycée d'aujourd'hui et en plus, la définition de ez en tant que série infinie convergente est du programme de Taupe. C'est pourquoi la preuve élémentaire que ${\sqrt {2}}$ devrait être explicite dans l'article (on commence par du simple). Il y a peu de temps, je me suis attelé à l'article Théorie des profils minces qui était une abomination question rédaction. Les résultats étaient présentés à la fin de calculs (avec pas mal d'imprécisions) et sans justification et explication claire à partir de principes physiques (les théorèmes de Helmholtz). On présente les résultats d'abord (ce que l'on veut démontrer) et on les justifie ensuite. On commence par du simple, on le justifie de manière claire et ne pas dire que c'est une conséquence du théorème qui dit que tout anneau euclidien est factoriel et que le résultat est une conséquence du théorème de Gauß dans un anneau factoriel (${\sqrt {2}}$ est irrationnel). Si mon point de vue n'est pas pris en ligne de compte, je serais obligé de m'opposer à la promotion de l'article pour absence de début d'article accessible à tous. De plus, plus de sources ne feraient pas de mal. Malosse ^{[Un problème de météo ou de planeur?]} 30 novembre 2017 à 23:06 (CET)

Une preuve arithmétique élémentaire de l'irrationalité de ${\sqrt {2}}$ a été rajoutée dans une sous-section séparée. --Gokimines (discuter) 2 décembre 2017 à 00:20 (CET)

Je trouve ça bien d'avoir ajouté la démonstration pour ${\sqrt {2}}$ car c'est exemple classique de la vulgarisation des irrationnels. ‒ Quasar (D) 5 décembre 2017 à 15:07 (CET)

Question de Quasar

Je suis plutôt convaincu pour le niveau BA, mais j'ai un peu perdu par la section Exemples de nombres irrationnels et de preuves d'irrationalité. Ne serait-elle pas plus lisible si elle était découpée en deux ? Par exemple :

1. Démonstration d'irrationalité
2. Exemples de nombres irrationnels

Je pense que ces deux notions sont assez différentes, l'une parle d'une pratique de mathématiciens, et l'autre parle d'éléments classiques dans l'ensemble des irrationnels. Je pense que pour un lecteur non mathématicien, le mélange de ces deux notions peut rebuter. ‒ Quasar (D) 5 décembre 2017 à 15:21 (CET)

Je ne pense pas qu'il soit bon de créer deux sections séparées et ce pour deux raisons :

1. Une section "exemples de nombres irrationnels" serait très courte et peu intéressante, guère plus qu'une liste à puces, et une section "exemple de preuves d'irrationalité" serait obligé de rappeler les exemples, ce qui inclurait des redondances.
2. Un lecteur qui serait intéressé juste par des exemples et pas par les preuves associées peut déjà trouver son bonheur : le bandeau introductif mentionne l'irrationalité de ${\sqrt {2}}$, $\pi$, $e$ ; ainsi que la constante $\gamma$ d'Euler dont l'irrationalité est un problème ouvert. Ces exemples étant de loin des plus classiques (il ne manque guère que le nombre d'or, qui est cependant mentionné plus bas dans les sections "antiquité grecque" et "propriétés de clôture"), il me semble que c'est suffisant pour informer un lecteur ne souhaitant pas rentrer dans le détail. Et un lecteur s'intéressant au sujet un peu plus en profondeur peut avoir d'autres exemples dans la section histoire, notamment dans la section "découverte de nouveaux irrationnels" visible dès le sommaire.

Ces deux raisons me font dire qu'il n'est pas utile de séparer la section "exemples + preuves" en deux sections distinctes.--Gokimines (discuter) 5 décembre 2017 à 16:41 (CET)

En effet, diviser en deux ne résoudrait pas le problème, peut être que simplifier le plan interne à la section le rendrait plus digeste. Rien de grave en tout cas. ‒ Quasar (D) 5 décembre 2017 à 20:31 (CET)

Le plan de cette section nous a fait beaucoup souffrir à vrai dire. D'un coté il faut qu'il y ait un minimum de liant pour que ça ne fasse pas trop catalogue, et d'un autre coté il n'y a pas énormément de critères valides pour faire une classification qui soit totalement satisfaisante.--Gokimines (discuter) 5 décembre 2017 à 23:39 (CET)

Remarques de TaupeGun

Bonjour,

j'ai quelques petits chipotages à faire sur la forme :

• Certaines parties font apparaître tantôt des ensembles avec LaTeX, tantôt sous la forme ℝ ou ℚ.
• Peut-être y a-t'il moyen d'avoir un autre schéma pour l’introduction faisant apparaître l'ensemble des constructibles, et qui soit plus de la forme des diagrammes d'Euler ? Un peu comme ici.

et quelques remarques sur le fond :

• Je ne sais pas si c'est vraiment pertinent mais on peut aussi ajouter que l'on peut fabriquer un nombre irrationnel avec un probabilité de 1 en lançant (en théorie) une infinité de fois un dé de 10 faces pour fabriquer une suite de décimales, et ce grâce à la loi du zéro-un de Kolmogorov.
• Il y a un manque de références, je trouve, pour le paragraphe évoquant les années 30 et Turing dans la partie Époque contemporaine.

J'espère avoir pu être constructif . --TaupeGun (discuter) 8 décembre 2017 à 21:24 (CET)

Bonsoir,

Merci pour ces remarques :

• Pour ℝ et ℚ je revérifierai, mais je crois qu'il y a du latex partout sauf dans les liens internes pour des raisons techniques.
• Un nouveau schéma serait effectivement une bonne chose, je vais voir pour en faire un qui inclut nombres constructibles et nombres calculables.
• Concernant la loi du zéro-un de Kolmogorov, ça peut sans doute être mentionné rapidement lorsque l'article parle des nombres normaux ou des nombres calculables.
• Effectivement pour le paragraphe sur Turing, les références sont passées à la trappe. Je vois pour m'en occuper la semaine prochaine :-)

--Gokimines (discuter) 9 décembre 2017 à 00:34 (CET)