Discussion:Équation quartique

je crois qu il y a 1 erreur sur cette page: en effet si les 3 racines z1 z2 et z3 du polynome R sont strictement négatives, je trouve les opposés des racines données par la méthode. Merci de vérifier. LeMatheuxSadique 11 avril 2007 à 20:31 (CEST)

Je suppose que tu veux dire quand les trois valeurs sont toutes les trois positives (elles ne peuvent pas être toutes les trois négatives car leur produit est q²) ? Mais tu as raison sur le fond. L'énoncé n'est pas très clair. Comme expliqué plus loin, la notation ${\sqrt {z_{i}}}$ représente une des racines carrées de zi (on se place dans les complexes), en changeant une des racines en son opposé, on change le signe (et l'ordre) des quatre valeurs x1, x2, x3, x4. Il est donc normal qu'en prenant la mauvaise racine, on tombe sur les opposés des vraies solutions. Maintenant pour rendre plus clair l'exposé, cela ne va pas être très facile. HB 11 avril 2007 à 22:10 (CEST)

Précisions apportées. HB 12 avril 2007 à 09:34 (CEST)

Bien sûr que si, les 3 racines de R peuvent être strict négatives !

Considere l' équation X^4+7X^2-6iX=0 (bien sur il ne sert à rien d'utiliser la formule pour ce cas mais c'est juste pour l'analyse).

Sinon pour ce qui est de choisir la bonne racine de y, j'y ferait attention la prochainne fois.

Dans ce cas, oui, tu as raison. Il ne m'était pas venu à l'idée que tu choisissais d'emblée pour P des coefficients complexes. @+ HB 13 avril 2007 à 14:26 (CEST)

ben oui c'est plus marrant avec les complexes! LeMatheuxSadique 13 avril 2007 à 19:41 (CEST)

Démonstrations

ah oui tu as changé, c'est mieux comme ça. Mais pourrais tu mettre la démo complète qui amène à la formule y^3+2Ay^2+(a^2-4c)y-b^2? Je l'ai vue dans la page "methode de descartes" mais je ne vois pas comment elle mène à 1/2(racine de y1+racine de y2+racine de y3)et etc...LeMatheuxSadique 17 avril 2007 à 13:59 (CEST)

On arrive au même polynôme R résultant mais en utilisant des considérations différentes : ici, il s'agit de considérations sur les polynôme symétriques et c'est développé dans Principe de la méthode. Les différent coefficients se trouvent en calculant

• z1+z2+z3
• z1z2+z1z3+z2z3
• z1z2z3

et en les exprimant à l'aide de

• y1 + y2 + y3 + y4 (= 0)
• y1y2 + y1y3 + y1y4 + y2y3 + y2y4 + y3y4 (=p)
• y1y2y3 + y1y2y4 + y1y3x4 + y2y3y4 (= - q)
• y1y2y3y4 (=r)

(voir Relations entre coefficients et racines)

Les calculs sont à mon avis trop longs (plusieurs pages manuscrites chez moi) pour pouvoir être mis ici.

comme z1 = - (y1+y2)(y3+y4) (idem pour les deux autres racines) et que y1 + y2 + y3 + y4 = 0, connaissant z1, z2, z3 on peut retrouver y1,y2 ,y3 ,y4

Là les calculs sont moins lourds et pourraient être plus détaillés mais est-ce vraiment nécessaire?

Peut-être te faut-il chercher des compléments d'informations dans un livre sur les polynômes symétriques. malheureusement, je ne peux pas t'en conseiller. (à part le Lelong Ferrand Arnaudies que je juge trop théorique et qui procède par raccourcis saisissants) HB 17 avril 2007 à 16:10 (CEST)

bon c'est pas grave , c'est juste que j'aime bien connaitre la demonstration d'une methode avant de l'utiliser, mais si c'est trop long je m'en contenterai.

Autre problème

Néanmoins un autre point subsiste: comment choisir la bonne racine de R(y) en fonction des coefficients? D'après ce que jai observé, lorsque l'on a X^4+AX^2+BX+C=0, si B est réel strict négatif on a prend les racines carrée de y1, y2 et y3;lorsque B est réel strict positif on prend lopposé des racines, et si B est complexe (imaginaire pur car je nai etudié que ceux la pour le moment)de la forme ai avec a<0 alors on prend lopposé des racines et si a>0 alors on prend les racines telles quelles. ça semble un peu lourd de le dire comme ça mais ça evite a chaque fois de vérifier quelles racines on doit prendre.LeMatheuxSadique 18 avril 2007 à 14:51 (CEST)

Il me semble tout aussi rapide de choisir arbitrairement √z1, √z2 et de choisir √z3 de telle sorte que que le produit donne - q (je reprends les données de l'énoncé pour plus de lisibilité) sans chercher à transformer cette règle simple en règle multiple selon les cas. Comment, par exemple, définis-tu LA racine carrée de zi quand zi est un complexe? Et cela arrive souvent sans aller chercher des coefficients complexes, par exemple pour y^4 - 2y² + 3y - 2. Tu vois que l'établissement d'une règle devient vite trop ... complexe. ;-) HB 18 avril 2007 à 15:35 (CEST)

re

Bon moi je trouve plus facile de faire 1 regle universelle, mais chacun fait comme il veut! qu'en a la demonstration j'essairai de la comprendre un de ces jours.merci pour les explications.LeMatheuxSadique 19 avril 2007 à 13:45 (CEST)

Help

Est-ce que la relation racine n-ième de a sur racine n-ième + b de a est simplifiable?

Mais qui est l'auteur de la méthode exposée ?

Bonjour ! je viens de lire cet article exposant une méthode de résolution des équations du quatrième degré mais je n'ai pas réussis à trouver l'auteur de cette méthode ? Quel est le mathématicien qui, le premier a trouvé cette méthode ? Nous sommes dans une encyclopédie et je pense que ce renseignement devrait figurer dans l'article ! Quelqu'un peut-il me renseigner ? Avec mes remerciements. --Sandrine L (d) 16 octobre 2010 à 13:18 (CEST)

En espérant avoir répondu à ta demande. HB (d) 16 octobre 2010 à 15:53 (CEST)

Équations quasi-symétriques

Cette section a été ajoutée en 2006 par traduction de l'article anglais. Par la suite, la section dans l'article anglais a quitté en:quartic equation pour migrer vers en:Quasi-symmetric equation, article qui a ete détruit en 2007 suite à cette discussion en:Wikipedia:Articles for deletion/Quasi-symmetric equation. Je pense qu'on devrait en faire autant. HB (d) 19 novembre 2012 à 13:26 (CET)

Euler

(encore Lui !) préfigure Lagrange. Anne, 15/9/18

Autre méthode

De l'équation réduite on peut poser :

y = x⁴ + px² qx + r = (x² + fx + g)(x² - fx + h)

Qui ramène à l'équation de degré 3

F = une des solutions de x³ + 2px² + (p²-4r) x - q² = 0 et f = √ F

On trouve

g = (f³ + pf - q)/2f = F/2 + p/2 - q/2f

h = (f³ + pf + q)/2f = F/2 + p/2 + q/2f

x₁ = (-f + √(F-4g))/2 = (-f + √(-F - 2p + 2q/f))/2

x₂ = (-f - √(F-4g))/2 = (-f - √(-F - 2p + 2q/f))/2

x₃ = (f + √(F-4h))/2 = (f + √(-F - 2p - 2q/f))/2

x₄ = (f - √(F-4h))/2 = (f - √(-F - 2p - 2q/f))/2 2A01:E0A:2D0:DE80:A1E2:6800:A1F8:3DF4 (discuter) 8 mars 2023 à 10:15 (CET)