Conservation de la charge électrique

La conservation de la charge électrique est un principe physique. Il exprime que la charge électrique d'un système isolé est un invariant. La charge électrique ne peut donc être qu'échangée avec un autre système mais ni créée ni annihilée. On dit qu'il s'agit d'une grandeur conservative.

Ainsi, lors d'une réaction chimique, la somme totale des charges des espèces mises en jeu est conservée entre les réactifs et les produits. Lors d'une collision entre atomes, ions ou molécules, d'une désintégration radioactive, ou d'un échange énergie-matière, il en est de même. Ce principe de conservation de la charge est également à la base de la loi des nœuds en électrocinétique.

Équation locale de conservation de la charge

Si $\vec{j}$ désigne le vecteur densité volumique de courant et $\rho$ la densité volumique de charge, l'équation locale de conservation de la charge s'écrit :

$\vec\nabla\cdot\vec{j}+\frac{\partial\,\rho}{\partial\,t}=0$

C'est un cas particulier d'une équation de conservation. Une démonstration succincte du cas particulier de la conservation de la charge est donnée ci-après.

On considère un volume $V$ délimité par une surface fermée $S$. La conservation de la charge implique que la variation de la charge électrique contenue dans $V$ est égale à l'opposé du flux de charge qui traverse la surface fermée $S$ orientée vers l'extérieur. Cela s'écrit :

$\frac{\partial}{\partial t}\iiint_V \rho\ \mathrm dV = - \iint_S \vec j\cdot\mathrm d\vec S$

Le théorème de Green-Ostrogradski nous donne pour une surface $S$ fermée : $\iint_S \vec j\cdot\mathrm d\vec S = \iiint_V \vec\nabla\cdot\vec j\ \mathrm dV$

d'où

$\iiint_V \left\{\frac{\partial\rho}{\partial t} + \vec\nabla\cdot\vec j\right\} \mathrm dV = 0$

Ceci étant valable quel que soit le volume $V$ choisi, on en déduit

$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \vec\nabla\cdot\vec j = 0$

Quelques conséquences

• En régime permanent, c’est-à-dire $\frac{\partial\,\rho}{\partial\,t}=0$, on a $\vec\nabla\cdot\vec{j}=0$ : $\vec{j}$ est alors un champ à flux conservatif. Ainsi, en intégrant sur une surface fermée, par exemple un morceau de fil conducteur, on peut retrouver la loi des nœuds de Kirchhoff concernant la conservation de l'intensité.

• Considérons un matériau conducteur de conductivité homogène $\gamma$ seul dans l'univers. De l'équation de la conservation de la charge et de la loi d'Ohm $\vec{j}=\gamma\,\vec{E}$ on tire, $\gamma$ étant supposé homogène : $\gamma\,\vec\nabla\cdot\vec{E}+\frac{\partial\,\rho}{\partial\,t}=0$. En utilisant encore une fois l'équation de Maxwell-Gauss on obtient l'évolution temporelle de $\rho$: $\frac{\partial\,\rho}{\partial\,t}+\gamma\,\mu_{0}\,c^{2}\,\rho=0.$

Ainsi, $\rho$ tend exponentiellement vers 0 avec une constante de temps $\frac{1}{\gamma\,\mu_{0}\,c^{2}}$ qui est de l'ordre de $10^{-18}\,s$ pour un métal de conductivité de l'ordre de $10^7\,S.m^{-1}$ : il ne peut donc subsister de densité volumique de charge dans un bon conducteur. Ceci peut paraître paradoxal si le conducteur avait initialement une charge totale non nulle ! On peut y répondre en affirmant que cette charge totale se retrouve sous la forme d'une densité surfacique de charge au bord du conducteur, la densité volumique de charge à l'intérieur étant bien nulle.

Voir aussi

• Densité de courant
• Équations de Maxwell
• Loi d'Ohm
• Lois de Kirchhoff