Ligne de courant

Une ligne de courant est une courbe de l'espace décrivant un fluide en mouvement.

Considérons à titre d'exemple un fluide s'écoulant dans un tuyau. Plaçons-nous à un instant $t$ fixé dans le temps – car il s'agit d'une notion de l'approche eulérienne. En chaque point $\vec{M}( x_1,x_2,x_3)$ du tube, l'écoulement a une certaine orientation illustrée par la direction de son vecteur vitesse $\vec{V}(x_1,x_2,x_3,t)$, de coordonnées $V_1( x_1,x_2,x_3,t)$, $V_2( x_1,x_2,x_3,t)$ et $V_3(x_1,x_2,x_3,t)$.

Une ligne de courant à un instant $t$ est la ligne en tout point tangente au vecteur $\vec{V}(x_1,x_2,x_3,t)$ (vecteur courant).

En considérant un petit élément $\overrightarrow{dx}$ parallèle à la ligne de courant, on doit avoir que le produit vectoriel $\overrightarrow{dx} \wedge \overrightarrow{V} =\overrightarrow{0}$ (en effet, les deux éléments sont parallèles). Ainsi, en exprimant cette égalité, on obtient :

$\frac{\mathrm dx_1}{V_1}= \frac{\mathrm dx_2}{V_2} = \frac{\mathrm dx_3}{V_3}$

Les lignes de courant sont données en résolvant cette équation différentielle.

On appelle tube de courant tout volume formé uniquement de lignes de courant, et il n'y a donc pas de flux traversant ce tube.

Il convient de distinguer la ligne de courant de la trajectoire d'une particule : l'un et l'autre ne sont confondus que dans le cas d'un écoulement stationnaire, c’est-à-dire un écoulement où $\vec{V}(x_1,x_2,x_3)$ n'est pas fonction de $t$ ( $\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}=0$ , voir dérivée partielle).