Ligne de courant

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La ligne rouge représente la trajectoire d'une parcelle se déplaçant dans un fluide en écoulement, la ligne bleue représente la trajectoire par rapport au fluide et les flèches grises la vitesse en tout point du fluide. Les lignes en tirets représentent les lignes de courant dans le fluide qui sont tangentielles aux flèches en tout point.

Une ligne de courant est une courbe de l'espace décrivant un fluide en mouvement et qui, à tout instant, possède en tout point une tangente parallèle à la vitesse des particules du fluide[1]

Théorie[modifier | modifier le code]

Considérons à titre d'exemple un fluide s'écoulant dans un tuyau. Plaçons-nous à un instant t fixé dans le temps – car il s'agit d'une notion de l'approche eulérienne. En chaque point \vec{M}( x_1,x_2,x_3) du tube, l'écoulement a une certaine orientation illustrée par la direction de son vecteur vitesse \vec{V}(x_1,x_2,x_3,t), de coordonnées V_1( x_1,x_2,x_3,t), V_2( x_1,x_2,x_3,t) et V_3(x_1,x_2,x_3,t).

Une ligne de courant à un instant t est la ligne en tout point tangente au vecteur \vec{V}(x_1,x_2,x_3,t) (vecteur courant).

En considérant un petit élément \overrightarrow{dx} parallèle à la ligne de courant, on doit avoir que le produit vectoriel \overrightarrow{dx} \wedge \overrightarrow{V} =\overrightarrow{0} (en effet, les deux éléments sont parallèles). Ainsi, en exprimant cette égalité, on obtient :

\frac{\mathrm dx_1}{V_1}= \frac{\mathrm dx_2}{V_2} = \frac{\mathrm dx_3}{V_3}

Les lignes de courant sont données en résolvant cette équation différentielle.

On appelle tube de courant tout volume formé uniquement de lignes de courant. Par définition, la vitesse normale à la frontière est nulle et il n'y a donc pas de flux traversant ce tube, ce qui justifie que les particules y soient confinées (bien que la forme des tubes de courant évolue généralement au cours du temps).

Comparaison avec la trajectoire[modifier | modifier le code]

Il convient généralement de distinguer la ligne de courant de la trajectoire d'une particule. L'une et l'autre ne sont confondues que dans le cas d'un écoulement stationnaire, c’est-à-dire un écoulement où \vec{V}(x_1,x_2,x_3) n'est pas fonction de t ( \frac{\partial \vec{V}}{\partial t}=0 , voir dérivée partielle). Dans le cas d'un écoulement instationnaire, les lignes de courant évoluent au cours du temps, alors que les trajectoires n'en dépendent intrinsèquement pas.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]