Coefficients de Clebsch-Gordan

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En physique, les coefficients de Clebsch-Gordan sont des nombres qui apparaissent lors de l'étude des couplages de moment angulaire soumis aux lois de la mécanique quantique. Ils portent le nom des mathématiciens allemands Alfred Clebsch (1833-1872) et Paul Gordan (1837-1912), qui rencontrèrent un problème similaire en théorie des invariants.

En théorie des représentations, notamment des groupes de Lie compacts, ces coefficients sont utilisés pour effectuer la décomposition en somme directe du produit tensoriel de deux représentations irréductibles.

On peut définir les coefficients de Clebsch-Gordan associés au groupe SO(3) d'une manière plus directe, comme produit d'harmoniques sphériques. L'addition de spins en mécanique quantique se comprend par cette approche. Dans cet article, on utilisera la notation bra-ket de Dirac.

Notations préliminaires[modifier | modifier le code]

Opérateurs de moment angulaire[modifier | modifier le code]

Les opérateurs de moment angulaire sont les opérateurs hermitiens j_1, j_2 et j_3 qui vérifient les relations suivantes :

\left[ j_k,j_l \right] = i h/(2\pi)\sum_{m=1}^3 \varepsilon_{klm}j_m \,

avec \varepsilon_{klm} le symbole de Levi-Civita. Ces trois termes peuvent être considérés comme les composantes d'un opérateur vectoriel \mathbf{j}. Le carré de la norme de \mathbf{j} est défini par :

\mathbf{j}^2 = j_1^2+j_2^2+j_3^2

On définit également les opérateurs (j_+) et (j_-) par :

j_\pm = j_1 \pm i j_2. \,

États de moment angulaire[modifier | modifier le code]

On peut montrer que \mathbf{j}^2 commute avec j_1, j_2 et j_3 :

\left[ \mathbf{j}^2, j_k \right] = 0 avec k = 1,2,3.

Lorsque deux opérateurs hermitiens commutent, ils possèdent un ensemble commun de fonctions propres. Par convention, on choisit \mathbf{j}^2 et j_3. D'après les relations de commutation, on détermine les valeurs propres :

\begin{alignat}{2} \mathbf{j}^2 |j m\rangle = j\left(j+1\right) |j m\rangle & \;\;\; j=0, 1/2, 1, 3/2, 2, \ldots\\
   j_3|j m\rangle = m |j m\rangle               & \;\;\; m = -j, -j+1, \ldots , j.
\end{alignat}

Les opérateurs (j_+) et (j_-) changent la valeur de m :

  j_\pm |jm\rangle = C_\pm \left(j,m\right) |j m\pm 1\rangle

avec

  C_\pm \left(j,m\right) = \sqrt{j\left(j+1\right)-m\left(m\pm 1\right)} = \sqrt{\left(j\mp m\right)\left(j\pm m + 1\right)}.

Un facteur de déphasage (complexe) peut être ajouté à la définition de C_\pm\left(j,m\right). Les états de moment angulaire doivent être orthogonaux — car leurs valeurs propres sont distinctes — et sont supposés normalisés :

  \langle j_1 m_1 | j_2 m_2 \rangle = \delta_{j_1,j_2}\delta_{m_1,m_2}.

Définition et propriétés[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Les états de moment angulaire peuvent être développés en les supposant non-couplés :

 |\left(j_1j_2\right)JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2}  |j_1m_1j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle

Les coefficients qui apparaissent dans le développement, notés \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle, sont les coefficients de Clebsch-Gordan.

En appliquant l'opérateur  :

  J_3 = j_3 \otimes 1 + 1 \otimes j_3

des deux côtés de l'égalité, on montre que les coefficients de Clebsch-Gordan peuvent ne pas être nuls seulement lorsque :

M = m_1 + m_2.\,

Relations d'orthogonalité[modifier | modifier le code]

On peut introduire la notation alternative, mais équivalente, suivante :

  \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \equiv \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle

Il est alors possible d'établir deux relations d'orthogonalité :

  \sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J}  \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle \langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle   = \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}
  \sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M' \rangle   = \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}

Propriétés de symétrie[modifier | modifier le code]

La relation de symétrie suivante est toujours valable :

\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle = \left(-1\right)^{j_1+j_2-J}\langle j_1 {-m_1} j_2 {-m_2}|J {-M}\rangle= \left(-1\right)^{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M \rangle.

Lien avec les symboles 3—jm[modifier | modifier le code]

Les coefficients de Clebsch-Gordan sont reliés aux symboles 3-jm, qui sont plus agréables à manipuler du fait de symétries plus simples. Cette relation s'exprime par l'équation suivante :

 \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle =  \left(-1\right)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & -m_3
\end{pmatrix}.

Coefficients de Clebsch-Gordan du groupe SU(N)[modifier | modifier le code]

L'algèbre des opérateurs de moment angulaire correspond à l'algèbre su(2) en mathématique. On peut généraliser les nombres quantiques du moment angulaire à su(N), l'algèbre de Lie du groupe spécial unitaire. Par exemple, c'est le cas en chromodynamique quantique. Pour coupler deux tels états quantiques, il faut les coefficients de Clebsch-Gordan de SU(N), qui ne sont pas connues en général. Cependant, des algorithmes produisants ces coefficients sont disponibles[1]. Un site web pour calculer les coéfficients de Clebsch-Gordan pour SU(N) fournit des tableaux explicites des coéfficients.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) A. Alex, « A numerical algorithm for the explicit calculation of SU(N) and SL(N,C) Clebsch-Gordan coefficients », J. Math. Phys., vol. 82,‎ février 2011, p. 023507 (DOI 10.1063/1.3521562, lire en ligne)

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]