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En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire , l'annulateur [ 1] orthogonal d'un espace vectoriel dans son dual pour l'appariement dual canonique (encore appelé crochet de dualité ). Il s'agit donc d'un cas particulier de la notion d'orthogonal.
Soit
E
{\displaystyle E}
corps commutatif
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
E
∗
{\displaystyle E^{*}}
dual algébrique . Soit
A
⊂
E
{\displaystyle A\subset E}
E
{\displaystyle E}
B
⊂
E
∗
{\displaystyle B\subset E^{*}}
E
∗
{\displaystyle E^{*}}
A
o
{\displaystyle A^{o}}
o
B
{\displaystyle ^{o}B}
A
o
:=
{
l
∈
E
∗
|
∀
x
∈
A
,
l
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle A^{o}:=\{l\in E^{*}\,|\,\forall x\in A,~l(x)=0\}}
o
B
:=
{
x
∈
E
|
∀
l
∈
B
,
l
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle ^{o}B:=\{x\in E\,|\,\forall l\in B,~l(x)=0\}}
À noter que
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Soit
E
{\displaystyle E}
A
⊂
E
{\displaystyle A\subset E}
B
⊂
E
∗
{\displaystyle B\subset E^{*}}
A
o
{\displaystyle A^{o}}
E
∗
{\displaystyle E^{*}}
o
B
{\displaystyle ^{o}B}
E
{\displaystyle E}
A
o
=
(
V
e
c
t
(
A
)
)
o
{\displaystyle A^{o}=(Vect(A))^{o}}
V
e
c
t
(
A
)
{\displaystyle Vect(A)}
petit sous-espace vectoriel de
E
{\displaystyle E}
A
{\displaystyle A}
o
B
=
o
(
V
e
c
t
(
B
)
)
{\displaystyle ^{o}B={}^{o}(Vect(B))}
V
e
c
t
(
B
)
{\displaystyle Vect(B)}
E
∗
{\displaystyle E^{*}}
B
{\displaystyle B}
o
(
A
o
)
=
V
e
c
t
(
A
)
{\displaystyle ^{o}(A^{o})=Vect(A)}
(
o
B
)
o
⊃
V
e
c
t
(
B
)
{\displaystyle (^{o}B)^{o}\supset Vect(B)}
B
{\displaystyle B}
Soit
A
1
,
A
2
⊂
E
{\displaystyle A_{1},A_{2}\subset E}
B
1
,
B
2
⊂
E
∗
{\displaystyle B_{1},B_{2}\subset E^{*}}
Si
A
1
⊂
A
2
{\displaystyle A_{1}\subset A_{2}}
A
2
o
⊂
A
1
o
{\displaystyle A_{2}^{o}\subset A_{1}^{o}}
Si
B
1
⊂
B
2
{\displaystyle B_{1}\subset B_{2}}
o
B
2
⊂
o
B
1
{\displaystyle ^{o}B_{2}\subset {}^{o}B_{1}}
(
A
1
+
A
2
)
o
=
A
1
o
∩
A
2
o
{\displaystyle (A_{1}+A_{2})^{o}=A_{1}^{o}\cap A_{2}^{o}}
o
(
B
1
+
B
2
)
=
o
B
1
∩
o
B
2
{\displaystyle ^{o}(B_{1}+B_{2})={}^{o}B_{1}\cap {}^{o}B_{2}}
Si
E
{\displaystyle E}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
dim
(
A
)
+
dim
(
A
o
)
=
dim
(
E
)
{\displaystyle \dim(A)+\dim(A^{o})=\dim(E)}
dim
(
B
)
+
dim
(
o
B
)
=
dim
(
E
)
{\displaystyle \dim(B)+\dim(^{o}B)=\dim(E)}
Ces propriétés permettent de démontrer qu'un sous-espace de dimension p peut s'écrire comme l'intersection de n-p hyperplans , où n est la dimension de l'espace entier.
