Étendue de faisceau

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L'étendue de faisceau ou étendue géométrique (dans le contexte de l'optique) est une grandeur utilisée en photométrie, qui caractérise la dispersion d'un faisceau lumineux émis par une source lorsqu'il atteint un dispositif récepteur.

L'étendue peut être définie de plusieurs façons. Vue de la source, c'est le produit entre la surface de la source et l'angle solide sous-tendu par la pupille d'entrée du dispositif récepteur (vu depuis la source). Vue du récepteur, c'est le produit de l'aire de la pupille d'entrée par l'angle solide sous-tendu par la source (vue depuis le récepteur).

La conservation de l'étendue d'un faisceau au travers d'un système optique exprime la conservation de la puissance lumineuse de ce faisceau, et donc l'absence de perte dans le système. De manière générale, la notion d'étendue géométrique est extrêmement féconde dans l'étude de nombreux systèmes optiques.


Définition[modifier | modifier le code]

Considérons une source lumineuse Σ et un récepteur S, tous deux étendus et non ponctuels, séparés par un milieu parfaitement transparent. Pour étudier la transmission de la lumière entre ces deux surfaces il faut étudier la contribution de chaque point de Σ à l'éclairement de chaque point de S.

Schéma représentant les paramètres de la définition de l'étendue de faisceau entre Σ et S

Nous appellerons :

  • dΣ et dS deux éléments de surface infiniment petits, assimilés à des portions de plan et appartenant respectivement à Σ et S
  • F le flux émis par Σ et capté par S
  • dF le flux émis par dΣ et capté par S
  • d2F le flux émis par dΣ et capté par dS
  • NΣ et NS les normales à dΣ et dS
  • αΣ et αS les angles de la direction de propagation NΣ et NS
  • Σ et dΩS les angles solides sous lesquels chaque élément de surface est vu depuis le centre de l'autre
  • d la distance des deux surfaces élémentaires dΣ et dS.

Naturellement : d\Omega_\Sigma = \frac{dS \cdot \cos{\alpha_S}}{d^2} et d\Omega_S = \frac{d\Sigma \cdot \cos{\alpha_\Sigma}}{d^2}


Par définition, l'étendue géométrique du faisceau lumineux qui « relie » les deux surfaces élémentaires est la quantité :

d^2G = d\Sigma \cdot \cos{\alpha_\Sigma} \cdot d\Omega_\Sigma = \frac{d\Sigma \cdot dS \cdot \cos{\alpha_\Sigma} \cdot \cos{\alpha_S}}{d^2} = dS \cdot \cos{\alpha_S} \cdot d\Omega_S


On peut montrer que la luminance du faisceau lumineux qui va de dΣ à dS s'écrit :

L = \frac{d^2F}{d^2G}

On prouve également qu'un faisceau monochromatique est cohérent sur une étendue égale à λ²[1] (longueur d'onde du faisceau).

Milieu d'indice de réfraction variable[modifier | modifier le code]

Ce qui précède est valable dans le cas d'un faisceau traversant un milieu d'indice de réfraction constant. Dans un milieu ou un système présentant une symétrie rotationnelle et dont l'indice de réfraction varie (ou si le faisceau traverse des milieux différents), la dispersion angulaire du faisceau peut être réduite par un facteur égal au carré de l'indice relatif de réfraction.

Par exemple, en regardant la surface depuis le fond d'une piscine (pour laquelle l'indice relatif de réfraction eau/air est de 1,33 environ), on verra l'hémisphère de la surface, soit un angle solide de 2π, "comprimé" dans un angle solide de 1,1π.

Sources[modifier | modifier le code]

  1. Cours en ligne de l'Observatoire de Paris, Mai 2010