Équation des géodésiques

On obtient l'équation d'une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition.

Un système de coordonnées $x^i$ étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale

$\mathrm dl = \sqrt{\pm g_{ij}\mathrm dx^i \mathrm dx^j}$.

Le signe optionnel $\pm$ est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable $\tau$, on écrit

$\mathrm dl = \sqrt{\pm g_{ij}\dot{x}^i \dot{x}^j} \mathrm d\tau$,

où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à $\tau$. La longueur de la trajectoire est donc la somme

$\int \sqrt{\pm g_{ij}\dot{x}^i \dot{x}^j} \mathrm d\tau$

En utilisant la méthode de Lagrange pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

$\frac{\partial \dot{s}}{\partial x^i} - \frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau} \left(\frac{\partial \dot{s}}{\partial \dot{x}^i}\right) = 0$

avec

$\dot{s} = \sqrt{\pm g_{ij}\dot{x}^i \dot{x}^j}$

La paramétrisation canonique $\tau = s$ des trajectoires permet d'obtenir une équation mettant en jeu le symbole de Christoffel (voir Équation géodésique et symbole de Christoffel) :

$\ddot{x}^k + \Gamma^k_{ij} \dot{x}^i\dot{x}^j=0$

Voir aussi

• Variété riemannienne
• Courbure
• Géodésique