« Anneau de Bézout » : différence entre les versions

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En [[algèbre commutative]] un '''anneau de Bézout''' est un anneau où la [[théorème de Bachet-Bézout|propriété de Bézout]] va se trouver vérifiée. Plus formellement, c'est un anneau dans lequel tout [[idéal de type fini]] est [[idéal principal|principal]]. Si, en toute théorie, la définition d'un anneau de Bézout n'exige pas la propriété d'[[anneau intègre|intégrité]] de l'anneau, en pratique les anneaux de Bézout que l'on étudie sont en général intègres<ref>Aviva Spirzglas, Algèbre L3, p. 511</ref>.
En [[algèbre commutative]] un '''anneau de Bézout''' ou '''anneau bézoutien''' est un anneau où la [[théorème de Bachet-Bézout|propriété de Bézout]] va se trouver vérifiée. Plus formellement, un '''anneau pseudo-bézoutien''' un anneau dans lequel tout [[idéal de type fini]] est [[idéal principal|principal]]; un '''anneau bézoutien''' est un anneau pseudo-bézoutien intègre<ref>Bourbaki 2006, Chap. 7, exercices 20 et 21</ref>.


== Idéal de type fini et propriété de Bézout ==
== Idéal de type fini et propriété de Bézout ==
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Un idéal de type fini est un idéal engendré par un nombre fini d'éléments. Un idéal engendré par un élément a est dit [[idéal principal]] et se note aA. Un idéal engendré par deux éléments a et b se note aA+bA, il est constitué des éléments de A pouvant s'écrire sous la forme au+bv avec u et v éléments de A.
Un idéal de type fini est un idéal engendré par un nombre fini d'éléments. Un idéal engendré par un élément a est dit [[idéal principal]] et se note aA. Un idéal engendré par deux éléments a et b se note aA+bA, il est constitué des éléments de A pouvant s'écrire sous la forme au+bv avec u et v éléments de A.


Un anneau est donc de Bézout si et seulement si, pour tous a et b de A, il existe un élément d de A tel que aA+bA=dA. L'implication directe n'est qu'un conséquence de la définition, la réciproque provient du fait que si un idéal engendré par 2 éléments est principal, il en est de même de l'idéal engendré par 3 éléments, puis 4, puis n.
Un anneau intègre est donc de Bézout si et seulement si, pour tous a et b de A, il existe un élément d de A tel que aA+bA=dA. L'implication directe n'est qu'un conséquence de la définition, la réciproque provient du fait que si un idéal engendré par 2 éléments est principal, il en est de même de l'idéal engendré par 3 éléments, puis 4, puis n.


Dans un anneau de Bézout tout couple (a,b) d'éléments non nuls possède un [[PGCD]] : pgcd(a,b)=d si et seulement si aA+bA=dA. Tout anneau de Bézout est donc un [[anneau à PGCD]].
Dans un anneau pseudo-bézoutien tout couple (a,b) d'éléments non nuls possède un [[PGCD]] : pgcd(a,b)=d si et seulement si aA+bA=dA. Tout anneau pseudo-bézoutien est donc un [[anneau à PGCD]].


De cette égalité, on déduit la propriété suivante appelée [[théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]] : pour tous éléments a, b et c de A, il existe des solutions à l'équation au+bv=c si et seulement si c est multiple du PGCD de a et b.
De cette égalité, on déduit la propriété suivante appelée [[théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]] : pour tous éléments a, b et c de A, il existe des solutions à l'équation au+bv=c si et seulement si c est multiple du PGCD de a et b.


== Hiérarchie ==
== Hiérarchie ==
* Puisque tout anneau de Bézout est un anneau à PGCD, pour un anneau de Bézout intègre on a :
* Puisque tout anneau pseudo-bézoutien est un anneau à PGCD, sur un tel anneau on a :
** le [[Lemme d'Euclide|lemme de Gauss]] et le [[lemme d'Euclide]] sont vérifiés ;
** le [[Lemme d'Euclide|lemme de Gauss]] et le [[lemme d'Euclide]] sont vérifiés ;
** tout [[primalité dans un anneau#Éléments premiers entre eux et élément irréductible|élément irréductible]] est [[primalité dans un anneau#Éléments indissolubles entre eux et élément premier|premier]] (ces deux propriétés sont alors équivalentes) ;
** tout [[primalité dans un anneau#Éléments premiers entre eux et élément irréductible|élément irréductible]] est [[primalité dans un anneau#Éléments indissolubles entre eux et élément premier|premier]] (ces deux propriétés sont alors équivalentes) ;
** l'anneau est [[anneau intégralement clos|intégralement clos]].
** l'anneau est [[anneau intégralement clos|intégralement clos]].
* Un anneau de Bézout intègre vérifie la propriété supplémentaire suivante :
* Un anneau bézoutien vérifie la propriété supplémentaire suivante :
** un élément est premier si et seulement s'il est [[Primalité dans un anneau#Éléments étrangers et élément extrémal|extrémal]], c'est-à-dire si l'[[idéal principal]] qu'il engendre est non nul et [[Idéal maximal|maximal]].
** un élément est premier si et seulement s'il est [[Primalité dans un anneau#Éléments étrangers et élément extrémal|extrémal]], c'est-à-dire si l'[[idéal principal]] qu'il engendre est non nul et [[Idéal maximal|maximal]].
* Un anneau intègre est de Bézout si et seulement s'il est à la fois à PGCD et de Prüfer, un anneau intègre étant dit de Prüfer si tout idéal de type fini non nul est [[Idéal fractionnaire|inversible]].
* Un anneau intègre est de Bézout si et seulement s'il est à la fois à PGCD et de Prüfer, un anneau intègre étant dit de Prüfer si tout idéal de type fini non nul est [[Idéal fractionnaire|inversible]].
* Tout [[Valuation#Anneau de valuation|anneau de valuation]] est clairement de Bézout.
* Tout [[Valuation#Anneau de valuation|anneau de valuation]] est de Bézout.
* Un anneau intègre est [[Anneau principal|principal]] si et seulement s'il est à la fois de Bézout et atomique, un anneau intègre étant dit atomique si tout élément non nul et non inversible y est produit d'irréductibles.
* Un anneau intègre est [[Anneau principal|principal]] si et seulement s'il est à la fois de Bézout et atomique, un anneau intègre étant dit atomique si tout élément non nul et non inversible y est produit d'irréductibles.
** Puisque tout [[anneau factoriel]] est intègre et atomique, tout anneau de Bézout qui est aussi factoriel est un anneau principal.
** Puisque tout [[anneau factoriel]] est intègre et atomique, tout anneau de Bézout qui est aussi factoriel est un anneau principal.
** De même, puisque tout [[anneau noethérien]] est atomique, tout anneau de Bézout intègre qui est aussi noethérien est principal. (Plus généralement : pour qu'un anneau soit atomique, il suffit que toute suite croissante d'idéaux ''principaux'' soit stationnaire.)
** De même, puisque tout [[anneau noethérien]] est atomique, tout anneau de Bézout qui est aussi noethérien est principal. (Plus généralement : pour qu'un anneau soit atomique, il suffit que toute suite croissante d'idéaux ''principaux'' soit stationnaire.)
** Il existe des anneaux de Bézout intègres non atomiques (donc non factoriels), comme l'anneau <math>\scriptstyle H(\C)</math> des [[fonction entière|fonctions entières]]<ref>Voir une démonstration dans ''[http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/holomorphe.pdf Arithmétique des anneaux de fonctions holomorphes]'' de David Bourqui</ref> ou celui des [[Entier algébrique|entiers algébriques]]<ref>{{Planetmath reference|id=9220|title=Example of a Bezout domain that is not a PID}}</ref>{{,}}<ref>Pour une généralisation, cf {{en}} Pete L. Clark, ''[http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf Commutative algebra]'', [[Irving Kaplansky|Kaplansky]]'s theorem p. 215</ref>. On peut également construire<ref>[[Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]]'', AC VI.3.4</ref>, pour tout [[Groupe ordonné|groupe abélien totalement ordonné]] ''G'', un anneau de valuation (donc de Bézout) dont le groupe de valuations est ''G'' : pour ''G'' non trivial et non isomorphe à '''Z''', cet anneau sera de valuation non triviale et non [[anneau de valuation discrète|discrète]], donc ne sera pas principal.
** Il existe des anneaux de Bézout non atomiques (donc non factoriels), comme l'anneau <math>\scriptstyle H(\C)</math> des [[fonction entière|fonctions entières]]<ref>Voir une démonstration dans ''[http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/holomorphe.pdf Arithmétique des anneaux de fonctions holomorphes]'' de David Bourqui</ref> ou celui des [[Entier algébrique|entiers algébriques]]<ref>{{Planetmath reference|id=9220|title=Example of a Bezout domain that is not a PID}}</ref>{{,}}<ref>Pour une généralisation, cf {{en}} Pete L. Clark, ''[http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf Commutative algebra]'', [[Irving Kaplansky|Kaplansky]]'s theorem p. 215</ref>. On peut également construire<ref>[[Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]]'', AC VI.3.4</ref>, pour tout [[Groupe ordonné|groupe abélien totalement ordonné]] ''G'', un anneau de valuation (donc de Bézout) dont le groupe de valuations est ''G'' : pour ''G'' non trivial et non isomorphe à '''Z''', cet anneau sera de valuation non triviale et non [[anneau de valuation discrète|discrète]], donc ne sera pas principal.


== Notes et références ==
== Notes et références ==
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== Bibliographie ==
== Bibliographie ==
* {{Ouvrage|prénom1= N.| nom1=Bourbaki| titre = Algèbre commutative, chapitres 5 à 7| éditeur = Springer | année = 2006| isbn=3540339418| pages=352}}
*{{Szpirglas}}
*{{article|lang=en|prénom=P. M.|nom=Cohn|lien auteur=Paul Cohn|url=http://www.lohar.com/researchpdf/bezout_rings_and_their_subrings.pdf|titre=Bezout rings and their subrings|revue=Math. Proc. Cambridge Phil. Soc.|year=1968|volume=64|p.=251-264}}
*{{article|lang=en|prénom=P. M.|nom=Cohn|lien auteur=Paul Cohn|url=http://www.lohar.com/researchpdf/bezout_rings_and_their_subrings.pdf|titre=Bezout rings and their subrings|revue=Math. Proc. Cambridge Phil. Soc.|year=1968|volume=64|p.=251-264}}


Version du 24 mai 2012 à 14:43

En algèbre commutative un anneau de Bézout ou anneau bézoutien est un anneau où la propriété de Bézout va se trouver vérifiée. Plus formellement, un anneau pseudo-bézoutien un anneau dans lequel tout idéal de type fini est principal; un anneau bézoutien est un anneau pseudo-bézoutien intègre[1].

Idéal de type fini et propriété de Bézout

Un idéal de type fini est un idéal engendré par un nombre fini d'éléments. Un idéal engendré par un élément a est dit idéal principal et se note aA. Un idéal engendré par deux éléments a et b se note aA+bA, il est constitué des éléments de A pouvant s'écrire sous la forme au+bv avec u et v éléments de A.

Un anneau intègre est donc de Bézout si et seulement si, pour tous a et b de A, il existe un élément d de A tel que aA+bA=dA. L'implication directe n'est qu'un conséquence de la définition, la réciproque provient du fait que si un idéal engendré par 2 éléments est principal, il en est de même de l'idéal engendré par 3 éléments, puis 4, puis n.

Dans un anneau pseudo-bézoutien tout couple (a,b) d'éléments non nuls possède un PGCD : pgcd(a,b)=d si et seulement si aA+bA=dA. Tout anneau pseudo-bézoutien est donc un anneau à PGCD.

De cette égalité, on déduit la propriété suivante appelée identité de Bézout : pour tous éléments a, b et c de A, il existe des solutions à l'équation au+bv=c si et seulement si c est multiple du PGCD de a et b.

Hiérarchie

  • Puisque tout anneau pseudo-bézoutien est un anneau à PGCD, sur un tel anneau on a :
  • Un anneau bézoutien vérifie la propriété supplémentaire suivante :
  • Un anneau intègre est de Bézout si et seulement s'il est à la fois à PGCD et de Prüfer, un anneau intègre étant dit de Prüfer si tout idéal de type fini non nul est inversible.
  • Tout anneau de valuation est de Bézout.
  • Un anneau intègre est principal si et seulement s'il est à la fois de Bézout et atomique, un anneau intègre étant dit atomique si tout élément non nul et non inversible y est produit d'irréductibles.
    • Puisque tout anneau factoriel est intègre et atomique, tout anneau de Bézout qui est aussi factoriel est un anneau principal.
    • De même, puisque tout anneau noethérien est atomique, tout anneau de Bézout qui est aussi noethérien est principal. (Plus généralement : pour qu'un anneau soit atomique, il suffit que toute suite croissante d'idéaux principaux soit stationnaire.)
    • Il existe des anneaux de Bézout non atomiques (donc non factoriels), comme l'anneau des fonctions entières[2] ou celui des entiers algébriques[3],[4]. On peut également construire[5], pour tout groupe abélien totalement ordonné G, un anneau de valuation (donc de Bézout) dont le groupe de valuations est G : pour G non trivial et non isomorphe à Z, cet anneau sera de valuation non triviale et non discrète, donc ne sera pas principal.

Notes et références

  1. ↑ Bourbaki 2006, Chap. 7, exercices 20 et 21
  2. ↑ Voir une démonstration dans Arithmétique des anneaux de fonctions holomorphes de David Bourqui
  3. ↑ Modèle:Planetmath reference
  4. ↑ Pour une généralisation, cf (en) Pete L. Clark, Commutative algebra, Kaplansky's theorem p. 215
  5. ↑ Bourbaki, Éléments de mathématique, AC VI.3.4

Bibliographie

  • N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitres 5 à 7, Springer, , 352 p. (ISBN 3540339418)
  • (en) P. M. Cohn, « Bezout rings and their subrings », Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 64,‎ , p. 251-264 (lire en ligne)
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