Groupe ordonné

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Ordre (théorie des groupes).

Un groupe ordonné est un groupe muni d'une relation d'ordre respectée par les translations.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit (G,.) un groupe (la loi du groupe étant notée multiplicativement) et ≤ une relation d'ordre sur G. On dit que celle-ci est compatible avec la loi du groupe lorsque pour tous éléments x, y et z du groupe, la relation xy entraîne les deux relations zxzy et xzyz. Un groupe ordonné est un ensemble muni simultanément d'une loi de groupe et d'une relation d'ordre compatible[1]. On appelle groupe totalement ordonné un groupe ordonné dont la relation d'ordre est totale.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le groupe abélien additif des fonctions continues de \mathbb{R} vers \mathbb{R} est un groupe ordonné qui n'est pas totalement ordonné[1].

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Dans un groupe ordonné, pour tous éléments x, y, x' et y', les inégalités xy et x'≤ y' entraînent l'inégalité xx'≤ yy'.

Dit autrement, on peut composer membre à membre des inégalités de même sens. En effet, d'après la définition, l'inégalité xy entraîne xx'≤ yx'. De même, l'inégalité x'≤ y' entraîne yx'≤ yy'. On conclut par transitivité de la relation d'ordre.

  • Dans un groupe ordonné, pour tous éléments x et y, l'inégalité xy entraîne l'inégalité y-1x-1.

Dit autrement, on peut passer à l'inverse dans une inégalité en en changeant le sens[1]. Pour obtenir ce résultat, il suffit de multiplier l'inégalité xy par y-1 à gauche et par x-1 à droite.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c et d T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer,‎ 2005 (ISBN 1-85233-905-5), p. 143