« Théorème d'Erdős-Fuchs » : différence entre les versions

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Le théorème d'Erdős-Fuchs, en théorie combinatoire des nombres, a pour objet le nombre de façons de représenter un entier naturel n comme somme de deux éléments d'un ensemble donné. Il établit que la moyenne de Cesàro de cette fonction de n ne peut pas tendre « très vite » vers une constante non nulle.

Énoncé

Pour un ensemble fixé A d'entiers naturels, on associe à tout entier n le nombre r(n) de couples d'éléments de A dont n est la somme, et on note

R(n)={\frac {r(0)+r(1)+\ldots +r(n)}{n}}.

Si

R(n)=C+o\left({\frac {1}{n^{3/4}{\sqrt {\ln n}}}}\right),

alors^[1]

C=0.

Motivation

Si A est l'ensemble des carrés parfaits, r(0) + … + r(n) est le nombre de points à coordonnées entières du quart de disque x, y ≥ 0, x² + y² ≤ n donc R(n) → $π$ /4 avec une différence en O(n^–2/3) et même, « par des arguments très profonds »^[2], en o(n^–2/3). Il est conjecturé^[2] que c'est en fait un O(n^{–3/4 + ε}) pour tout ε > 0 mais on sait démontrer, « par des arguments encore plus difficiles »^[2] que ce n'est pas un O(n^{–3/4 – ε}). Le théorème d'Erdős-Fuchs fut donc une surprise, par la généralité de son énoncé et le caractère élémentaire de ses arguments^[2].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Erdős–Fuchs theorem » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) P. Erdős et W. H. J. Fuchs, « On a Problem of Additive Number Theory », J. London Math. Soc., vol. 31, n^o 1,‎ 1956, p. 67-73 (lire en ligne)
↑ ^{a b c et d} (en) Donald J. Newman, Analytic number theory, New York, Springer, coll. « GTM » (n^o 177), 1998, 78 p. (ISBN 0-387-98308-2, lire en ligne), p. 32

Liens externes

(en) « Erdős-Fuchs theorem », PlanetMath
(en) R. C. Vaughan, « On the addition of sequences of integers », J. Number Theory, vol. 4,‎ 1972, p. 1-16 (lire en ligne)

Arithmétique et théorie des nombres

[1] (en) P. Erdős et W. H. J. Fuchs, « On a Problem of Additive Number Theory », J. London Math. Soc., vol. 31, n^o 1,‎ 1956, p. 67-73 (lire en ligne)

[Newman-2] {a b c et d} (en) Donald J. Newman, Analytic number theory, New York, Springer, coll. « GTM » (n^o 177), 1998, 78 p. (ISBN 0-387-98308-2, lire en ligne), p. 32

[1]

[2]

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 == Motivation ==
-Si ''A ''est l'ensemble des [[Carré parfait|carrés parfaits]], ''r''(0) + … + ''r''(''n'') est le nombre de points à coordonnées entières du quart de disque ''x'', ''y ''≥ 0, ''x''{{2}} + ''y''{{2}} ≤ ''n ''donc ''R''(''n'') → {{math|π}}/4 avec une différence en [[Comparaison asymptotique#Domination|O(''n''{{exp|–2/3}})]] et même, {{citation|par des arguments très profonds}}<ref name=Newman>{{Ouvrage|langue=en|nom1={{Lien|Donald J. Newman}}|titre=Analytic number theory|lieu=New York|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=177|année=1998|pages totales=78|passage=32|isbn=0-387-98308-2|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=wdoUiycMtIoC&pg=PA32}}</ref>, en [[Fonction négligeable|o(''n''{{exp|–2/3}})]]. Il est conjecturé<ref name=Newman/> que c'est en fait un O(''n''{{exp|–3/4 + ε}}) pour tout ε > 0 mais on sait démontrer, {{citation|par des arguments encore plus difficiles}}<ref name=Newman/> que ce n'est pas un O(''n''{{exp|–3/4 – ε}}). Le théorème d'Erdős-Fuchs fut donc une surprise, par la généralité de son énoncé et le caractère élémentaire de ses arguments<ref name=Newman/>.
+Si ''A ''est l'ensemble des [[Carré parfait|carrés parfaits]], ''r''(0) + … + ''r''(''n'') est le nombre de points à coordonnées entières du quart de disque ''x'', ''y ''≥ 0, ''x''{{2}} + ''y''{{2}} ≤ ''n ''donc ''R''(''n'') → {{math|π}}/4 avec une différence en [[Comparaison asymptotique#Domination|O(''n''{{exp|–2/3}})]] et même, {{citation|par des arguments très profonds}}<ref name=Newman>{{Ouvrage|langue=en|nom1=[[Donald J. Newman]]|titre=Analytic number theory|lieu=New York|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=177|année=1998|pages totales=78|passage=32|isbn=0-387-98308-2|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=wdoUiycMtIoC&pg=PA32}}</ref>, en [[Fonction négligeable|o(''n''{{exp|–2/3}})]]. Il est conjecturé<ref name=Newman/> que c'est en fait un O(''n''{{exp|–3/4 + ε}}) pour tout ε > 0 mais on sait démontrer, {{citation|par des arguments encore plus difficiles}}<ref name=Newman/> que ce n'est pas un O(''n''{{exp|–3/4 – ε}}). Le théorème d'Erdős-Fuchs fut donc une surprise, par la généralité de son énoncé et le caractère élémentaire de ses arguments<ref name=Newman/>.
 == Notes et références ==