« Fonction L p-adique » : différence entre les versions
m Ajout rapide de {{portail}} : + mathématiques |
ref |
||
Ligne 39 : | Ligne 39 : | ||
== Références == |
== Références == |
||
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=p-adic L-function}} |
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=p-adic L-function}} |
||
* |
|||
*{{Ouvrage | last1=Barsky | first1=Daniel | editor1-last=Amice | editor1-first=Y. | editor1-link = Yvette Amice | editor2-last=Barskey | editor2-first=D. | editor3-last=Robba | editor3-first=P. | title=Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e année: 1977/78) | chapter-url=http://www.numdam.org/item?id=GAU_1977-1978__5__A9_0 | publisher=Secrétariat Math. | location=Paris | isbn=978-2-85926-266-2 | mr=525346 | year=1978 | volume=16 | chapter=Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels}} |
|||
*{{Ouvrage | last1=Cassou-Noguès | first1=Pierrette | title=Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques | doi=10.1007/BF01389911 | mr=524276 | year=1979 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=51 | issue=1 | pages=29–59}} |
|||
*{{Ouvrage | last1=Coates | first1=John | title=On p-adic L-functions | url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1988-1989__31__33_0 | mr=1040567 | year=1989 | journal=Astérisque | issn=0303-1179 | issue=177 | pages=33–59}} |
|||
*{{Citation | last1=Colmez | first1=Pierre | title=Fontaine's rings and p-adic L-functions | url=http://www.math.jussieu.fr/~colmez/tsinghua.pdf | year=2004}} |
|||
*{{Ouvrage | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | last2=Ribet | first2=Kenneth A. | title=Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields | doi=10.1007/BF01453237 | mr=579702 | year=1980 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=59 | issue=3 | pages=227–286| bibcode=1980InMat..59..227D }} |
|||
*{{Ouvrage | last1=Iwasawa | first1=Kenkichi | title=On p-adic L-functions | jstor=1970817 | mr=0269627 | year=1969 | journal=[[Annals of Mathematics]] |series=Second Series | issn=0003-486X | volume=89 | pages=198–205 | doi=10.2307/1970817 | issue=1 | publisher=Annals of Mathematics}} |
|||
*{{Ouvrage | last1=Iwasawa | first1=Kenkichi | title=Lectures on p-adic L-functions | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-08112-0 | mr=0360526 | year=1972}} |
|||
*{{Ouvrage | last1=Katz | first1=Nicholas M. | title=Algebraic geometry |series=Proc. Sympos. Pure Math. |volume= 29 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | mr=0432649 | year=1975 | chapter=p-adic L-functions via moduli of elliptic curves | pages=479–506}} |
|||
*{{Ouvrage | last1=Koblitz | first1=Neal | author1-link=Neal Koblitz | title=p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics, vol. 58 | isbn=978-0-387-96017-3 | mr=754003 | year=1984}} |
|||
*{{Ouvrage | last1=Kubota | first1=Tomio | last2=Leopoldt | first2=Heinrich-Wolfgang | title=Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?GDZPPN002180626 | mr=0163900 | year=1964 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | issn=0075-4102 | volume=214/215 | pages=328–339 | author1-link=Tomio Kubota | author2-link=Heinrich-Wolfgang Leopoldt }} |
|||
*{{Ouvrage | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | editor1-last=Kuyk | editor1-first=Willem | editor2-last=Serre | editor2-first=Jean-Pierre | editor2-link=Jean-Pierre Serre | title=Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972) | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series= Lecture Notes in Math | isbn=978-3-540-06483-1 | doi=10.1007/978-3-540-37802-0_4 | mr=0404145 | year=1973 | volume=350 | chapter=Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques | pages=191–268}} |
|||
{{Portail|mathématiques}} |
{{Portail|mathématiques}} |
||
Version du 15 août 2021 à 12:31
En mathématiques, une fonction zêta p-adique, et plus généralement une fonction L p-adique, est une fonction analogue à la fonction zêta de Riemann, ou plus généralement des fonctions L, pour lesquels l'ensemble de départ de d'arrivé sont les nombres p-adiques où p est un nombre premier). Par exemple, l'ensemble de départ peut être l'ensembles des entiers p-adique Zp, un p-groupe profini, ou une famille de représentations galoisiennes p-adique, et l'image peut être l'ensemble Qp ou sa clôture algébrique.
La source d'une fonction L p-adique est généralement de deux types. La première — à partir de laquelle Tomio Kubota (en) et Heinrich-Wolfgang Leopoldt ont donné la première construction d'une fonction L p-adique (Kubota et Leopoldt 1964) — est via l'interpolation p-adique des valeurs spéciales des fonctions L (en). Par exemple, Kubota-Leopoldt ont utilisé les congruences de Kummer sur les nombres de Bernoulli pour construire une fonction L p-adique, la fonction zêta de Riemann p-adique ζp(s), dont les valeurs aux entiers impairs négatifs sont celles de la fonction zêta de Riemann (à un facteur de correction explicite près). Ces fonctions L p-adiques sont généralement dites fonctions L p-adiques analytiques. L'autre source de fonctions L p-adiques — découverte pour la première fois par Kenkichi Iwasawa — provient de la théorie des corps cyclotomiques, et plus généralement de certains représentation de Galois sur des tours de champs cyclotomiques (en). Une fonction L p-adique obtenue de cette manière est dite fonction L arithmétique p-adique car elle contient des informations sur le module de Galois donné. La conjecture principale de la théorie d'Iwasawa (en) (devenu un théorème dû à Barry Mazur et Andrew Wiles) est l'affirmation que la fonction L p-adique de Kubota-Leopoldt et un analogue arithmétique construit via la théorie d'Iwasawa sont essentiellement les mêmes.
Fonctions L de Dirichlet
Une fonction L de Dirichlet est donnée par le prolongement analytique de
La fonction L de Dirichlet aux entiers négatifs vaut
où Bn,χ sont les nombres de Bernoulli généralisés définis par
pour un caractère de Dirichlet χ de conducteur f.
Définition par interpolation
La fonction L p-adique de Kubota–Leopoldt Lp(s, χ) interpole la fonction L de Dirichlet à l'exception du le facteur d'Euler en p. Plus précisément, Lp(s, χ) est l'unique fonction continue du nombre p-adique s telle que
pour n positif divisible par p − 1. Le terme de droite est la fonction L de Dirichlet usuelle, sans le terme d'ordre p sans quoi le terme de gauche n'aurait pas été p-adique continu. La continuité de ce dernier est étroitement lié aux congruences de Kummer.
Lorsque n n'est pas divisible par p − 1, on pose plutôt
pour tout n positif. Ici χ multiplié par une puissance du caractère de Teichmüller (en) ω.
Vues comme une mesure p-adique
Les fonctions L p-adique peuvent aussi être vues comme des mesures p-adiques (ou distributions p-adiques) sur des groupes de Galois p-profinis. La transition entre ce point de vue et celui de Kubota–Leopoldt (en tant que fonctions de Zp dans Qp) s'effectue par la transformée de Mazur–Mellin (et la théorie des corps de classes).
Corps totalement réel
Deligne & Ribet (1980), s'appuyant sur le travail de Serre (1973), ont construit des fonctions L p-adiques sur des corps totalement réels. Indépendamment, Barsky (1978) et Cassou-Noguès (1979) ont fait la même chose, en suivant l'approche de Takuro Shintani concernant l'étude des valeurs L.
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « p-adic L-function » (voir la liste des auteurs).
- Daniel Barsky, Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e année: 1977/78), vol. 16, Paris, Secrétariat Math., (ISBN 978-2-85926-266-2, MR 525346), « Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels »
- Pierrette Cassou-Noguès, Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques, vol. 51, , 29–59 p. (ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01389911, MR 524276)
- John Coates, On p-adic L-functions, , 33–59 p. (ISSN 0303-1179, MR 1040567, lire en ligne)
- « {{{1}}} »
- Pierre Deligne et Kenneth A. Ribet, Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields, vol. 59, , 227–286 p. (ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01453237, Bibcode 1980InMat..59..227D, MR 579702)
- Kenkichi Iwasawa, On p-adic L-functions, vol. 89, Annals of Mathematics, coll. « Second Series », , 198–205 p. (ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970817, JSTOR 1970817, MR 0269627)
- Kenkichi Iwasawa, Lectures on p-adic L-functions, Princeton University Press, (ISBN 978-0-691-08112-0, MR 0360526)
- Nicholas M. Katz, Algebraic geometry, vol. 29, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Proc. Sympos. Pure Math. », , 479–506 p. (MR 0432649), « p-adic L-functions via moduli of elliptic curves »
- Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics, vol. 58 », (ISBN 978-0-387-96017-3, MR 754003)
- Tomio Kubota et Heinrich-Wolfgang Leopoldt, Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen, vol. 214/215, , 328–339 p. (ISSN 0075-4102, MR 0163900, lire en ligne)
- Jean-Pierre Serre, Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), vol. 350, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Math », , 191–268 p. (ISBN 978-3-540-06483-1, DOI 10.1007/978-3-540-37802-0_4, MR 0404145), « Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques »