Élasticité

Généralités

En physique et en science des matériaux, l'élasticité est la capacité d'un matériau à retrouver sa forme d'origine après avoir subi une déformation mécanique par torsion, traction ou compression. Il vient de la force électrostatique qui lie chaque atome à ses voisins.

La déformation mécanique est le changement de forme dû à l'application d'une force . Il est bien connu que même une petite force peut provoquer une certaine déformation. Pour les petites déformations, deux caractéristiques importantes sont observées. Premièrement, lorsque la force est supprimée, l'objet reprend sa forme d'origine, c'est-à-dire que la déformation est élastique pour les petites déformations. Deuxièmement, l'ampleur de la déformation est proportionnelle à la force, c'est-à-dire que pour les petites déformations, la loi de Hooke peut être respectée. Sous forme d'équation, la loi de Hooke est donnée par:

                       $\sigma =E\;\varepsilon$       

où:

σ est la contrainte (traction, compression ou cisaillement), définie par le module de la force externe F divisé par la surface de contact A . La direction des forces peut changer, mais pas les unités. L'unité SI de contrainte est le newton par mètre carré, qui porte le nom spécial de Pascal en l'honneur du physicien Blaise Pascal.

σ est homogène à une pression ; du fait des valeurs énormes mises en jeu, on l'exprime généralement en mégapascal (MPa).

Figure schématique d'une contrainte appliquée à un cylindre

ε est la déformation définie par la modification que subit un matériau après que l'on applique une force. La déformation élastique est une déformation réversible car le matériau retourne à son état initial lorsque l'on supprime les sollicitations. Elle se traduit par un déplacement collectif des atomes par rapport à leurs position d'équilibre.

La déformation s'exprime généralement par l'allongement Δl subi par une éprouvette soumise à une contrainte; on tient compte de la proportionnalité de l'allongement Δl avec la longueur initiale l₀ de l'éprouvette en introduisant la déformation:

   $\varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}={\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}$

E est le module d’Young, qui représente une mesure de la rigidité ou de la résistance à la déformation élastique d'un solide sous charge. Elle met en relation la contrainte (force par unité de surface) et la déformation (déformation proportionnelle) le long d'un axe ou d'une ligne.

                     [E] = [σ] = ${\frac {[force]}{[surface]}}$

E est exprimé en Pa et dépend de chaque matériau. Pour déterminer le module d'élasticité E d'un matériau, on réalise par exemple un essai de traction et on enregistre la courbe contrainte = f(déformation).

Courbe contrainte-déformation d'un matériau ductile

La pente de la courbe dans sa partie linéaire correspond au module d'élasticité en traction du matériau. Dans cette article on va traiter les deux comportements élastiques: linéaire et non-linéaire. Si vous voulez aller plus loin sur la notion de plasticité, il existe une page sur Wikipédia dédiée pour cette partie: la déformation plastique.

Afin de mieux comprendre le mécanisme de la déformation, on peut considérer les liaisons interatomiques qui sont la partition d'électrons entre les atomes comme un petit ressort qui résiste lorsque l'on essaie de déplacer l'atome de sa position d'équilibre. C'est pourquoi l'élasticité varie fortement d'un matériau à l'autre: l'énergie de liaison (la résistance du ressort) est différente, en fonction de la distance entre les atomes, de la taille des atomes ou du nombre d'électrons qu’ils peuvent mettre en commun.

La plupart des matériaux solides présentent des propriétés élastiques à un degré plus ou moins élevé, mais il existe des limites à l'ampleur de la force et de la déformation qui l'accompagne, dans laquelle la récupération élastique est possible pour un matériau donné. Cette limite est appelée la limite élastique, qui est la contrainte ou la force maximale par unité de surface qui peut se produire dans un matériau solide avant le début de la déformation permanente. Les contraintes au-delà de la limite élastique provoquent la déformation d'un matériau. Pour ces matériaux, la limite élastique marque la fin du comportement élastique et le début du comportement plastique. Pour la plupart des matériaux fragiles, les contraintes au-delà de la limite élastique se traduisent par une fracture sans pratiquement aucune déformation plastique.

Élasticité linéaire

L'élasticité linéaire est l'une des théories les plus abouties de la physique mathématique. Son succès pragmatique dans la description des petites déformations de nombreux matériaux est incontesté. Les origines de la théorie tridimensionnelle remontent au début du XIXe siècle et à la dérivation des équations de base par CAUCHY, NAVIER et POISSON. Le développement théorique du sujet s'est poursuivi à un rythme rapide jusqu'au début du XXe siècle avec les travaux de BELTRAMI, BETTI, BouSSINESQ, KELVIN, KIRCHHOFF, LAME, SAINT-VENANT, SoMIGLIANA, STOKES, et d'autres.Au XXe siècle, l'accent s'est déplacé vers la solution des problèmes de valeurs limites, et la théorie elle-même est restée relativement en sommeil jusqu'au milieu du siècle, lorsque de nouveaux résultats sont apparus concernant, entre autres, le principe de Saint-Ve nant, les fonctions de stress, les principes variationnels et l'unicité.

Loi de comportement

Fig.1: Diagramme contrainte-déformation dans le cas d'une élasticité linéaire

Le comportement élastique du modèle est une loi locale sans mémoire, dont la courbe représentative de contrainte en fonction de la déformation (voir fig.1) est une droite. La pente E de la droite est appelée donc module d'élasticité linéaire ou module d'Young Le comportement élastique linéaire a en outre deux propriétés:

• Chaque particule du milieu a un état de référence, appelé état au repos, de sorte que le tenseur de déformation linéarisée et le tenseur de contrainte soient égaux au tenseur nul.
• Comparé à l'état de référence, l'état de contrainte de la particule à un instant donné ne dépend que de son état de déformation. Par conséquent, l'état de référence peut être similaire à l'état initial au sens lagrangien du terme.

C'est à dire qu'un milieu élastique est un milieu qui se déforme sous l'application d'une contrainte (La nature et la quantification de cette déformation sont arbitraires), et qui retrouve son état d'origine si on supprime la contrainte.

Le concept de milieux élastiques est donc très général, car aucune information n'est fournie sur les propriétés fonctionnelles reliant la contrainte à la déformation. Nous pouvons aller plus loin en discutant des modèles élastiques linéaires. Dans ce cas, nous ajoutons les hypothèses suivantes:

• Le mouvement est conforme à l’HPP (l’Hypothèse des Petites Perturbations).
• La relation entre contraintes et déformations est affine.

Avec ces hypothèses, nous pouvons écrire la relation proportionnelle entre les éléments de la matrice du tenseur des déformations linéarisée et les éléments de la matrice du tenseur des contraintes:

                  $\sigma _{ij}=a_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl}$

Chaque terme du tenseur de contrainte est obtenu comme la composition linéaire de tous les termes de la matrice de déformation linéarisée.

Grâce à la formule précédente, nous révélons un tenseur du quatrième ordre, qui fait le lien entre σ et ε. Afin de simplifier la notation, on considère le système suivant:

${\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1111}&a_{1122}&a_{1133}&a_{1123}&a_{1113}&a_{1112}\\a_{2211}&a_{2222}&a_{2233}&a_{2223}&a_{2213}&a_{2212}\\a_{3311}&a_{3322}&a_{3333}&a_{3323}&a_{3313}&a_{3312}\\a_{2311}&a_{2322}&a_{2333}&a_{2323}&a_{2313}&a_{2312}\\a_{1311}&a_{1322}&a_{1333}&a_{1323}&a_{1313}&a_{1312}\\a_{1211}&a_{1222}&a_{1233}&a_{1223}&a_{1213}&a_{1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}\\\end{pmatrix}}$

Où la matrice a est appelée la matrice des raideurs élastiques, et possède 21 termes indépendants (du fait de certaines symétries).

Pour décrire le matériau de manière pratique, les 21 paramètres ne sont pas nécessaires, donc afin de simplifier les calculs pour la plupart des matériaux élastiques, une dernière hypothèse peut en effet être faite et qui correspond au modèle élastique linéaire isotrope:

• Les propriétés mécaniques du milieu ne varient pas par rotation. En d'autres termes, il se comporte de la même manière dans toutes les directions.

• Sous cette hypothèse, nous utilisons 2 paramètres au lieu de 21 paramètres, et appelons ces paramètres coefficients de Lamé. Ces deux coefficients ont la grandeur de la pression (kPa ou Mpa).

Dans les milieux élastiques linéaires et isotropes, la relation contrainte-déformation prend une forme simplifiée, appelée loi de Hooke. En prenant en compte les coefficient de Lamé, cette loi s'écrit:

                       $\sigma =2\mu \varepsilon +\lambda \;\operatorname {tr} (\varepsilon )I$

Où σ est le tenseur des contraintes,  ε le tenseur des déformations, I le tenseur identité ettrla trace.

Dans la pratique, on utilise beaucoup plus souvent deux autres paramètres qui s’en déduisent directement : le module d’Young E et le coefficient de Poisson $\nu$ :

$\nu ={\frac {\lambda }{2(\lambda +\mu )}}$

${\frac {1}{E}}={\frac {\lambda +\mu }{\mu (3\lambda +2\mu )}}$

Ces deux paramètres sont très couramment utilisés car ils ont une signification physique plus évidente que le coefficient de Lamé, notamment d'un point de vue expérimental.

Pour résumer, lorsqu'un solide est soumis à des forces extérieures, il peut se déplacer et / ou se déformer. Si le solide retrouve automatiquement sa forme d'origine lorsque les contraintes externes sont éliminées, le solide présente donc un comportement élastique linéaire. Ainsi par définition, les déformations d'un solide élastique sont réversibles.

Élasticité non-linéaire

Lorsque le matériau est soumis à des niveaux de contrainte élevés, le rapport entre la contrainte et la déformation est perdu, ce qui permet au comportement non linéaire du matériau de le remplacer. Ce comportement est causé par la dissipation d'énergie, qui se manifeste par une déformation irréversible. Ce phénomène est appelé «élastoplasticité». Il existe d'autres formes de comportement non linéaire, soit lorsque certains matériaux sont en phase élastique, soit lorsque la structure du matériau est endommagée. Par conséquent, l'analyse par éléments finis de la non-linéarité des matériaux doit adopter une formule spécifique pour considérer ce phénomène afin de concilier le principe d'équilibre mécanique et la nature de la loi de comportement.

Loi de comportement

Fig.2: Diagramme contrainte-déformation dans le cas d'une élasticité non-linéaire

La caractéristique fondamentale du comportement des matériaux élastiques est que les contraintes reviennent complètement à zéro après le déchargement. Dans le cas d'une élasticité linéaire avec un module constant d'élasticité, le chargement et le déchargement se font sur le diagramme contrainte-déformation le long d'une ligne droite, (voir la figure 1). La pente de cette ligne droite est exactement égale au module constant d'élasticité E, selon la loi de Hooke. En généralisant ce comportement élastique linéaire, le chargement et le déchargement peuvent également se faire le long d'une courbe non linéaire, et dans ce cas on parle d'élasticité non linéaire (voir Fig.2). Dans ce cas, la loi de Hooke n'est valable que sous une forme additionnelle ou différentielle :

         ${\frac {{\mathrm {d} }\sigma }{{\mathrm {d} }\varepsilon }}(\varepsilon )=E(\varepsilon )$

Ce comportement non-linéaire résulte de la relation non-proportionnelle entre les contraintes et les déformations, tout en assurant la réversibilité lorsque la structure est déchargée ;

La structure macromoléculaire de certains matériaux, tels que les élastomères, leur permet de subir des déformations élastiques non linéaires de grande amplitude, ces matériaux dits "superélastiques".

Hyperélasticité

L'hyperélasticité fait référence à une réponse constitutive qui peut être dérivée d'un potentiel d'énergie libre élastique , elle est généralement utilisée pour les matériaux qui subissent une grande déformation élastique. Les applications des élastomères tels que le caoutchouc vulcanisé et les polymères synthétiques, ainsi que certains matériaux biologiques, entrent souvent dans cette catégorie.

Physiquement, les matériaux élastiques (élasticité linéaire, hyperélasticité) reviennent à leur état initial une fois que leur charge disparaît. En d'autres termes, le travail effectué pendant le processus de chargement est récupéré pendant le processus de déchargement, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de dissipation d'énergie interne (processus réversible).

La microstructure des solides polymères est constituée de molécules en forme de chaîne. La flexibilité de ces molécules permet une disposition irrégulière des molécules et par conséquent, leur comportement est très complexe. Les polymères sont généralement isotropes à petite déformation et anisotropes à plus grande déformation, car les chaînes de molécules s'alignent sur la direction de la charge. Cependant, dans des conditions de charge essentiellement monotones, de nombreux matériaux polymères peuvent être considérés comme isotropes, ce qui a été historiquement populaire dans la modélisation des polymères.

Certaines classes de matériaux hyperélastiques ne peuvent pas être modélisées comme isotropes. Les composites polymères renforcés par des fibres en sont un exemple. Les modèles de fibres typiques comprennent des fibres unidirectionnelles et bidirectionnelles, et les fibres peuvent avoir une rigidité qui est 50 à 1000 fois celle de la matrice polymère, ce qui entraîne un comportement fortement anisotrope du matériau. Une autre classe de matériaux anisotropes qui peut subir une grande déformation est celle des biomatériaux, tels que les muscles et les artères, dont le comportement anisotrope est dû à leur structure fibreuse.

Le comportement volumétrique typique des matériaux hyperélastiques peut être regroupé en deux classes. Les matériaux tels que les polymères présentent généralement de petites variations volumétriques au cours de la déformation et ce sont des matériaux incompressibles ou presque incompressibles. Un exemple de la deuxième classe de matériaux est celui des mousses, qui peuvent connaître de grandes variations volumétriques pendant la déformation, et ce sont des matériaux compressibles.

Mesure d'élasticité

Afin d'évaluer les constantes élastiques de chaque matériau, on procède à des tests mécaniques statiques simples. Les échantillons sont soit tirés en traction, soit pressés en compression, soit pliés en flexion ou tordus en torsion et les contraintes sont mesurées par diverses techniques. Les constantes élastiques sont ensuite calculées à partir de l'équation d'élasticité qui met en relation la contrainte et la déformation. À partir de ces mesures, le module de Young, le coefficient de Poisson et le module de cisaillement sont déterminés. Ce sont les modules couramment utilisés pour le calcul des contraintes ou des déformations dans les applications structurelles.

Modes de sollicitations

Essai de traction simple

Illustration d'un essai de traction

L'essai de traction est le test le plus couramment utilisé pour déterminer les propriétés mécaniques des matériaux. Le test se caractérise par sa facilité de mise en œuvre et la grande quantité d'informations fournies. Après le processus de chargement à une vitesse de déformation constante, une force de traction est appliquée à lune éprouvette jusqu'à sa rupture. Les échantillons de test sont prélevés sur le matériau à caractériser et transformés en tailles standard pour assurer une meilleure comparaison des tests effectués dans différents laboratoires. Pour chaque type de matériau, il existe une éprouvette.

Essai de compression

Illustration d'un essai de compression

L'essai de compression consiste à appliquer une force de compression à un échantillon placé sur une surface non déformable. Cette contrainte provoque un écrasement de l'échantillon.

Les essais de compression sont surtout utiles pour déterminer la résistance à la rupture de matériaux fragiles (bétons, céramiques) qui résistent mal à la traction.

Essai de cisaillement

Illustration d'un essai de cisaillement

Il y a cisaillement lorsqu'un échantillon est sollicité par deux forces égales, de même droite d'action mais de sens contraires, ce qui fera glisser les deux parties de la pièce l'une contre l'autre.

Articles connexes

• Déformation élastique

Catégorie:Propriété fonctionnelle d'un matériau