Polyèdre de Császár

**Éléments**
Type	Polyèdre toroïdal (en)
Propriétés	non convexe
Dual	Polyèdre de Szilassi

En géométrie, le polyèdre de Császár (prononciation en hongrois : [ˈ tʃ a ː s a ː ɾ]) est un polyèdre toroïdal (en) ayant 14 faces triangulaires ; avec le tétraèdre, c'est le seul polyèdre connu sans diagonales, autrement dit tel que deux sommets quelconques soient toujours reliés par une arête

Graphe complet[modifier | modifier le code]

L'ensemble des sommets et des arêtes du polyèdre de Császár forme un graphe complet (noté $K_{7}$ ). Plus généralement, si un polyèdre ayant s sommets, a arêtes et f faces correspond à une surface à t « trous » (autrement dit si sa caractéristique d'Euler s-a+ f est égale à 2-2t), et si ses sommets et arêtes forment un graphe complet, il possède a = s(s-1)/2 arêtes, chaque face est un triangle et donc a = 3f/2, et on obtient finalement $t={\frac {(s-3)(s-4)}{12}}$ . t étant entier, on doit avoir s congru à 0, 3, 4, ou 7 modulo 12.

Cette équation est vérifiée pour le tétraèdre (avec t = 0 et s = 4), et pour le polyèdre de Császár (avec t = 1 et s = 7). La solution suivante, t = 6 et s = 12, correspondrait à un polyèdre à 44 faces et 66 arêtes, mais un tel polyèdre n'existe pas, et en fait on ne connait aucun polyèdre pour des valeurs de t supérieures^[1].

Historique[modifier | modifier le code]

Le polyèdre de Császár a été découvert en 1949 par le topologue hongrois Ákos Császár^[2]. Son dual, le polyèdre de Szilassi, ne fut découvert qu'en 1977 par Lajos Szilassi (en) ; il a 14 sommets, 21 arêtes, et 7 faces hexagonales, chacune étant adjacente à toutes les autres faces ; il est également homéomorphe à un tore.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Császár polyhedron » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Günter M. Ziegler, Discrete Differential Geometry, vol. 38, Springer-Verlag, coll. « Oberwolfach Seminars », 2008, 191–213 p. (ISBN 978-3-7643-8620-7, DOI 10.1007/978-3-7643-8621-4_10, arXiv math.MG/0412093), « Polyhedral Surfaces of High Genus »
↑ (en) Császár, A., « A polyhedron without diagonals », Acta Sci. Math. Szeged, vol. 13,‎ 1949, p. 140–142 (lire en ligne).

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Csaszar Polyhedron », sur MathWorld

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[1] (en) Günter M. Ziegler, Discrete Differential Geometry, vol. 38, Springer-Verlag, coll. « Oberwolfach Seminars », 2008, 191–213 p. (ISBN 978-3-7643-8620-7, DOI 10.1007/978-3-7643-8621-4_10, arXiv math.MG/0412093), « Polyhedral Surfaces of High Genus »

[2] (en) Császár, A., « A polyhedron without diagonals », Acta Sci. Math. Szeged, vol. 13,‎ 1949, p. 140–142 (lire en ligne).

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