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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Weierstrass-Casorati décrit une propriété topologique des voisinages d'une singularité essentielle d'une fonction holomorphe. Il est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Karl Weierstrass et Felice Casorati.

Singularités des fonctions holomorphes[modifier | modifier le code]

En analyse complexe, une singularité d'une fonction holomorphe est un point où la fonction n'est pas bien définie. On peut classer ces singularités en plusieurs catégories, si un point $a$ appartient à un ouvert ${\mathcal {U}}$ de $\mathbb {C}$ et une fonction holomorphe $f$ est définie sur ${\mathcal {U}}\backslash \{a\}$ alors on dit que $a$ est :

Une singularité apparente (ou singularité éliminable) de $f$ si $f$ peut être prolongée en une fonction holomorphe ${\tilde {f}}$ sur ${\mathcal {U}}$ tout entier. C'est le cas si $\left|f\right|$ est bornée sur un voisinage de $a$ .

Un pôle de $f$ lorsque $\lim _{z\to a}\left|f(z)\right|=+\infty$

Une singularité essentielle de $f$ lorsque $\left|f\right|$ n'est pas bornée en $a$ mais n'admet pas non plus de limite en $a$ .

Il existe un quatrième type de singularité : le point de branchement (ou point de ramification) qui concerne les fonctions complexes multiformes telles que la fonction racine n-ième ou la fonction logarithme complexe.

Prolongement pour les singularités apparentes[modifier | modifier le code]

Dans le cas où $f$ est définie sur le disque ouvert épointé $D\left(a,R\right)\backslash \{a\}$ , une des principales conséquences de la formule intégrale de Cauchy conduit à développer $f$ en série de Laurent : $f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ avec $c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma _{r}}{f(\xi ) \over (\xi -a)^{n+1}}\,d\xi$ en prenant pour $\gamma _{r}$ le cercle de centre $a$ et de rayon $r>0$ .

Si $\left|f\right|$ est bornée sur un voisinage de $a$ on montre alors en faisant tendre $r$ vers $0$ que pour tout $n<0$ l'intégrale curviligne précédente est nulle et donc que $c_{n}=0$ pour tout $n<0$ . Ainsi le développement en série de Laurent est en réalité un développement en série entière et $f$ peut alors être prolongée en une fonction holomorphe ${\tilde {f}}$ sur $D\left(a,R\right)$ en posant ${\tilde {f}}(a)=c_{0}$ et ${\tilde {f}}(z)=f(z)$ si $z\neq a$ et la singularité est apparente.

Énoncé et preuve du théorème de Weierstrass-Casorati[modifier | modifier le code]

Théorème de Weierstrass-Casorati — Soit $f$ une fonction holomorphe sur un disque $D(a,r)$ épointé (c'est-à-dire privé de son centre) avec une singularité essentielle en $a$ (c'est-à-dire que $f$ n'est pas bornée sur un voisinage de $a$ sans pour autant que $\lim _{z\to a}|f(z)|$ existe).

Alors, pour tout $k$ inclus dans $]0,r[$ , l'ensemble $f(D(a,k)\backslash \{a\})$ est dense dans $\mathbb {C}$ .

Démonstration

Par l'absurde, si $f$ a une singularité essentielle en $a$ , supposons qu'il existe $k>0$ tel que $f\left(D(a,k)\backslash \{a\}\right)$ n'est pas dense dans $\mathbb {C}$ . Il existe alors $b\in \mathbb {C}$ et $\epsilon >0$ tel que $\left|f(z)-b\right|>\epsilon$ et la fonction $g:z\mapsto 1/(f(z)-b)$ est alors bornée sur $D(a,k)\backslash \{a\}$ , $a$ est donc une singularité apparente de $g$ qui peut se prolonger en une fonction ${\tilde {g}}$ holomorphe en $a$ . La fonction $1/{\tilde {g}}$ est alors soit holomorphe en $a$ si ${\tilde {g}}(a)\neq 0$ soit elle possède un pôle si ${\tilde {g}}(a)=0$ mais dans tous les cas cela contredit l'hypothèse de singularité essentielle de $f$ en $a$ . $f\left(D(a,k)\backslash \{a\}\right)$ est donc nécessairement dense dans $\mathbb {C}$ .

Remarques - Grand théorème de Picard[modifier | modifier le code]

Ainsi pour tout $k$ inclus dans $]0,r[$ et pour tout $c$ appartenant à $\mathbb {C}$ , il existe une suite $(z_{j})$ de $D(a,k)\backslash \{a\}$ telle que $f(z_{j})$ tend vers $c$ .

Il existe un autre type de singularité à ne pas confondre avec la singularité essentielle, le point de branchement: il existe alors dans le développement autour de a soit un terme logarithmique soit des puissances non entières.

Le grand théorème de Picard a complété le théorème de Weierstrass-Casorati en précisant qu'une telle application prend une infinité de fois toutes les valeurs de $\mathbb {C}$ sauf peut être une. La démonstration du théorème de Picard est bien plus difficile que celle du théorème de Weierstrass-Casorati.

Exemples[modifier | modifier le code]

Tracé du module de la fonction $z\mapsto \exp \left(z^{-2}\right)$ . La fonction possède une singularité essentielle en $0$ . On peut observer que même en étant très près de 0 le module peut prendre toutes les valeurs positives excepté 0

La fonction $g:z\mapsto 1/z$ définie sur $\mathbb {C} ^{*}$ possède une singularité qui n'est pas essentielle en $0$ (c'est en fait un pôle d'ordre 1). On peut remarquer que $\left|g(z)\right|\to \infty$ quand $z\to 0$ et la fonction $g$ ne vérifie donc pas le théorème de Weierstrass-Casorati.

La fonction définie sur $\mathbb {C} ^{*}$ par $f(z)=\exp \left({\frac {1}{z}}\right)$ possède une singularité essentielle en $0$ et vérifie donc le théorème de Weierstrass-Casorati, on peut même vérifier dans ce cas précis le grand théorème de Picard.

La fonction définie pour tout $z\in \mathbb {C} ^{*}$ par :

f(z)=\exp \left({\frac {1}{z^{2}}}\right)=1+{\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{2z^{4}}}+{\frac {1}{6z^{6}}}+{\frac {1}{24z^{8}}}+...

possède une singularité essentielle en $0$ .

En posant $z=x+iy$ on a $\left|f(z)\right|=\exp \left({\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right)$ les courbes de niveaux de $\left|f(z)\right|$ vérifient donc des équations du type $x^{2}-y^{2}=c\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ où $c$ est une constante, les courbes de niveaux de $\left|f(z)\right|$ sont donc des lemniscates de Bernoulli.

Applications[modifier | modifier le code]

L'utilisation du théorème de Weierstrass-Casorati est l'une des méthodes qui permet de montrer que les seules automorphismes biholomorphes de $\mathbb {C}$ sont des applications $f$ du type $f(z)=az+b$ avec $a\neq 0$ .

Classification des couronnes de $\mathbb {C}$ à biholomorphisme près.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Serge Lang, Complex Analysis, New York, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », janvier 1999, 485 p. (ISBN 0-387-98592-1)

Lien externe[modifier | modifier le code]

[1] Cours de Ernst Hairer de l'université de Genève au format PDF.