Théorèmes de Picard

En analyse complexe, les théorèmes de Picard, nommés d'après le mathématicien Émile Picard, sont deux théorèmes concernant les valeurs prises par une fonction analytique complexe.

Petit théorème de Picard — si une fonction entière n'est pas constante, alors son image est soit égale au plan complexe, soit au plan complexe privé d'un point.

Autrement dit:

• soit les valeurs prises par une fonction entière non-constante couvrent tout l'ensemble des nombres complexes
• soit il existe un unique nombre complexe dont la valeur n'est pas atteinte par la fonction.

Dans le cas où il existe une valeur que la fonction ne prend pas, cette valeur est appelée valeur lacunaire.

Ce théorème est un énoncé plus fort que le théorème de Liouville par lequel on ne peut seulement déduire que l'image d'une fonction entière non-constante n'est pas bornée.

Grand théorème de Picard — soit une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle, alors sur tout voisinage de cette singularité (privé du point singulier), les valeurs prises par la fonction couvrent tous les nombres complexe une infinité de fois, à l'exception d'au plus un seul nombre.

Il s'agit d'une version plus forte du théorème de Weierstrass-Casorati, qui affirme seulement que l'image de ce voisinage est dense dans ℂ. Une conséquence importante du grand théorème de Picard est que toute fonction entière qui n'est pas un polynôme atteint dans le plan complexe, toutes les valeurs possibles, et ceci une infinité de fois (avec, au plus, une seule exception).

Dans les deux théorèmes ci-dessus la nécessité de l'existence d'une potentielle exception (la valeur lacunaire) est démontrée par les deux exemples suivants, où la valeur lacunaire est 0 :

• La fonction entière non-constante $z\mapsto \mathrm {e} ^{z}$ (l'exponentielle complexe) ne s'annule pas. Elle possède même une singularité essentielle en l'infini (c'est une fonction transcendante).
• La fonction $z\mapsto \mathrm {e} ^{1/z}$ est un exemple de fonction holomorphe ayant une singularité essentielle bornée (au point 0) ne s'annulant pas,

Remarques

• Le cas des fonctions polynomiales est une conséquence directe du théorème de d'Alembert-Gauss.
• Le petit théorème se déduit immédiatement du grand, car toute fonction entière est soit un polynôme soit elle possède une singularité essentielle à l'infini.

• Une récente conjecture de B. Elsner est liée au grand théorème de Picard : soient $U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}$ des ouverts connexes qui ont pour réunion le disque unité épointé $D\setminus \{0\}$. Sur chaque ouvert $U_{j}$, soit $f_{j}$ une fonction holomorphe injective telle que $\mathrm {d} f_{j}=\mathrm {d} f_{k}$ sur toutes les intersections $U_{j}\cap U_{k}$. Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur le disque $D$. (Si le résidu est nul, la conjecture découle du grand théorème de Picard.)

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