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Projet d'article Savart (musique) voir aussi projet pour Cent (musique)

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Le savart est une unité d'expression des intervalles musicaux, basée sur une échelle logarithmique par rapport à la fréquence fondamentale d'un son musical. Un savart correspond à un rapport de fréquences égal à la racine millième de dix. L'intervalle en savarts est mille fois le logarithme décimal du rapport des fréquences.

Dans la théorie des gammes et tempéraments, cette unité permet de rapporter les intervalles propres à un système à une unité commune. En ethnomusicologie, elle permet de comparer les sons musicaux sans rabattre les intervalles sur ceux de la musique occidentale.

L'idée d'utiliser les logarithmes décimaux remonte aux travaux de Joseph Sauveur, publiés en 1701. Le nom de savart a été proposé à l'Académie des sciences française en 1902.

Définition

La définition normative du savart est

intervalle logarithmique de fréquences entre deux sons dont le rapport des fréquences fondamentales est égal à la racine millième de dix.

Cet énoncé définit un intervalle de un savart ; l'adjectif « logarithmique » indique que lorsqu'on ajoute un savart, on multiplie le rapport des fréquences par la racine millième de dix.

Calcul

Connaissant le rapport des fréquences, l'application des règles de base des logarithmes donne

$r={\frac {f_{2}}{f_{1}}};intervalle=1000\times \log _{10}(r)$ cents

Un intervalle exprimé en savarts se convertit en rapport de fréquences par :

${\frac {f_{2}}{f_{1}}}=10^{\frac {s}{1000}}$

Valeurs approchées

Un intervalle d'un savart correspond à une multiplication par 1.002305 environ. Une octave équivaut à 301 savarts à peu de choses près. Un demi-ton s'arrondit couramment à 25 savarts.

Pertinence et validité des calculs

Les expériences de la psychoacoustique ont montré que l'écart de hauteur qu'on peut tout juste distinguer entre deux sons musicaux est, dans le meilleur des cas, d'environ 2 à 3 pour mille soit aux alentours d'un savart. Dans l'expression des intervalles mélodiques, de sons successifs, les décimales sont superflues.

Lorsqu'on mesure des fréquences, la précision qu'on peut obtenir est proportionnelle à la durée de l'échantillon qu'on étudie. Le principe d'incertitude indique que le produit de la résolution en fréquence Δf par la durée d'analyse Δd est toujours supérieur à 1. Par conséquent, pour déterminer la fréquence d'un son musical à un savart près, c'est-à-dire à un peu moins de 0.0025 f près, il faut 1/(0.0025 f) au moins, soit 400 périodes. Pour le diapason à 440 Hz, cela fait un peu moins d'une seconde. Ces contraintes gouvernent l'analyse des sons musicaux.

Pour calculer l'écart en savarts de deux fréquences, ou quand ces fréquences sont le résultat d'un calcul sur d'autres grandeurs mesurées, il faut tenir compte de la propagation des incertitudes.

Lorsque le calcul se base sur la longueur, l'incertitude de mesure qui amène à une expression à un savart près est, de la même façon, d'un peu moins de 0.0025 — soit 2,5 mm sur un mètre. Avec une incertitude de mesure ε l'intervalle en cents se donne à plus ou moins $1000\times log_{10}(1+\epsilon )$ : le même calcul que pour les savarts.

Calcul approché

On n'a pas toujours sous la main de quoi calculer un logarithme. Comme, généralement, on recherche un nombre entiers de savarts, on obtient une approximation suffisamment précise avec une table donnant les rapports pour les six tons au tempérament égal d'une octave et sans autres moyens de calcul, déterminer une valeur en savarts par approximation linéaire dans le ton.

correspondance tons - rapport

tons	0	1	2	3	4	5	6
rapport	1	1.122	1.251	1.414	1.587	1.782	2

On cherche d'abord le nombre d'octaves, en divisant le rapport par deux jusqu'à ce qu'il se trouve entre 1 et 2. Le nombre de divisions nécessaire est le nombre d'octaves. La table indique le nombre de tons entiers. La différence entre notre résultat et le rapport correspondant au ton entier est le reste; celle entre les rapports des tons qui l'encadrent est le pas. La division de ce reste par ce pas, multiplié par 25, est le nombre de savarts. On obtient un résultat en octaves, tons et savarts.

Exemple :

Quel est l'expression en cents du rapport 2.688÷1 ?

• 2.688÷2 = 1.344, inférieur à 2 : 1 octave
• 1.344 est entre les rapports correspondant à 2 (1.251) et 3 tons (1.414)
• le reste est 1.344-1.251 soit 0.093
• le pas est 1.414-1.251 soit 0.163
• le nombre de savarts est 93/163×50 : 28.5

1 octave, 2 tons, 29 savarts : 301+50×2+28.5 = 429.5 Rentré à la maison, nous vérifions avec le calcul plus rigoureux : 1000*log₁₀(2.688) ≈ 429.4

Histoire

Depuis l'Antiquité et Pythagore, on a remarqué que les intervalles, dans le domaine musical, correspondent à des multiplications ou divisions, dans le domaine physique. Une octave en dessous ou au-dessus est une multiplication ou une division par deux de la longueur d'une corde vibrante ou d'un tuyau ; une quinte, une multiplication ou une division par un et demi, et de même pour les autres intervalles. La fréquence de la vibration sonore est inversement proportionnelle à cette longueur et augmente donc avec la hauteur du son. La succession des intervalles, en musique, correspond donc à ce qu'en mathématiques on appelle une progression géométrique. Les mathématiciens ont généralisé cette notion pour pouvoir calculer tous les intermédiaires d'une progression géométrique — la fonction exponentielle —. Les logarithmes permettent la démarche inverse.

L'intérêt pour l'utilisation musicale des logarithmes est presque aussi ancien que les logarithmes eux-mêmes, inventés par John Napier en 1614. Dès 1647, Juan Caramuel y Lobkowitz (1606-1682) décrit dans une lettre à Athanasius Kircher l'usage des logarithmes à base 2 en musique. Dans cette base, l'octave vaut 1, le demi-ton 1/12, etc.

Joseph Sauveur a proposé dans ses Principes d'acoustique et de musique de 1701 l'utilisation des logarithmes à base dix, probablement parce que les tables en étaient disponibles. Le logarithme décimal de 2 vaut approximativement 0,301, que Sauveur propose de multiplier par 1000 pour obtenir des unités valant 1/301 d'octave. Comme 301 est le produit de deux nombres premiers, 43 et 7, il suggère de prendre des unités d'un quarante-troisième d'octave, qu'il appelle « mérides », divisées en 7 parties, les « heptamérides ». Sauveur a envisagé la possibilité de diviser chaque heptaméride en 10 « décamérides », mais il ne fait pas lui-même réellement usage de cette unité microscopique.

Au cours des XVIII^e et XIX^e siècle, un bon nombre de propositions basées sur le logarithme décimal sont publiées. Le mathématicien anglais Auguste de Morgan propose d'appeler atom une unité qui serait la 30 103e partie de l'octave, que John Curwen nomme jot sur une suggestion de Helmholtz.

En 1902, Amédée Guillemin propose à l'Académie des sciences de France le nom de savart, en hommage à Félix Savart, inventeur d'un appareil destiné à mieux évaluer les fréquences sonores. Cette unité correspond au départ à un facteur 10, ce qui fait que l'intervalle est simplement le logarithme décimal du rapport des fréquences, tandis que le millisavart est mille fois plus petit. Face à des objections défend sa proposition en remarquant qu'elle correspond à la loi de Fechner. Une dizaine d'années plus tard, le savart est « l'intervalle dont le logarithme vulgaire (...) est 0,001 ».

Usage

Son usage en ethnomusicologie se heurte à la difficulté de déterminer avec suffisamment de précision la fréquence fondamentale.

Annexes

Bibliographie

• Pierre-Yves Asselin, Musique et tempérament, Éditions JOBERT, 2000, 236 p. (ISBN 2-905335-00-9).
• (en) A. G. Pikler, « Logarithmic Frequency Systems », Journal of the Acoustical Society of America, vol. 39, n^o 1102,‎ 1966 (présentation en ligne).
• Claude Abromont et Eugène de Montalembert, Guide de la théorie de la musique, Librairie Arthème Fayard et Éditions Henry Lemoine, coll. « Les indispensables de la musique », 2001, 608 p. [détail des éditions] (ISBN 978-2-213-60977-5).

Articles connexes

• Cent (musique)
• Hauteur (musique)
• Échelle des mels

Notes et références

{palette|Échelles musicales|Intervalle musical}} {portail|musique}}

[Catégorie:Échelle logarithmique]]