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Projet d'article Cent (musique) -- voir aussi Projet pour Savart (musique)

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Le cent est une unité d'expression des intervalles musicaux fondée sur le rapport des fréquences des sons. C'est une échelle logarithmique qui équivaut à la centième partie du demi-ton tempéré.

Dans la théorie des gammes et tempéraments, cette unité permet de rapporter les intervalles propres à un système à une unité commune. En ethnomusicologie, elle permet de relier les sons musicaux au système de notation de la musique occidentale.

Le musicologue américain Alexander John Ellis est à l'origine du nom de cent, qu'il a préconisé en 1880 en reprenant le « logarithme acoustique » de Gaspard de Prony.

Définition[modifier | modifier le code]

La définition normative du cent ou centième est

intervalle logarithmique de fréquences entre deux sons dont le rapport des fréquences fondamentales est égal à la racine 1200e de deux[1].

La fréquence fondamentale est la fréquence qui a la période du système considéré[2]. Cette fréquence ne correspond pas nécessairement à un partiel[3].

En bref,

Un cent se définit comme le centième du demi-ton tempéré[4].

Ces deux définitions sont équivalentes. Écrire qu'un cent est un centième de demi-ton tempéré implique que le cent s'obtient à partir du demi-ton au tempérament égal de la même façon que celui-ci s'obtient à partir de l'octave. Selon la théorie de la musique, les intervalles correspondent à une multiplication de la fréquence par un rapport constant. Les douze demi-tons égaux qui s'ajoutent pour faire une octave correspondent au rapport de multiplication du demi-ton élevé à la puissance douze[5]. Réciproquement, ce rapport est égal à la racine douzième de celui de l'octave, 2. Avec le même raisonnement pour diviser le demi-ton en cent parties égales, on conclut que le rapport correspondant au cent est la racine 1200ème de deux.

Calcul[modifier | modifier le code]

Connaissant le rapport des fréquences, l'application des règles de base des logarithmes donne

cents

La deuxième expression vaut quelle que soit la base du logarithme.

Lorsqu'on calcule à partir du logarithme décimal, donne un résultat convenable en général et est suffisamment précis pour les petits intervalles.

Un intervalle exprimé en cents se convertit en rapport de fréquences par :

Valeurs approchées[modifier | modifier le code]

Un intervalle d'un cent correspond à une multiplication par 1.0005778 environ. Un intervalle de 100 cents, soit un demi-ton au tempérament égal, correspond à 1.05946 environ.

Pertinence et validité des calculs[modifier | modifier le code]

Les expériences de la psychoacoustique ont montré que l'écart de hauteur qu'on peut tout juste distinguer entre deux sons purs successifs est, dans le meilleur des cas, d'environ 2 à 3 pour mille[6] soit aux alentours de 4 cents[a]. Dans l'expression en cents des intervalles mélodiques, les décimales sont pour le moins superflues[7].

La fréquence est définie pour des phénomènes périodiques, qui se reproduisent à l'infini. Lorsqu'on étudie une portion limitée dans le temps, comme c'est le cas pour les sons musicaux, la précision qu'on peut obtenir est proportionnelle à la durée de l'échantillon qu'on étudie. Le principe d'incertitude indique que le produit de la résolution en fréquence Δf par la durée d'analyse Δd est toujours supérieur à ½[8]. Par conséquent, pour déterminer la fréquence d'un son à un cent près, c'est-à-dire à un peu moins de 0.0006 f près, il faut plus de 1/(2×0.0006 f), 865 périodes. Pour le diapason à 440 Hz, cela fait presque deux secondes. Ces contraintes gouvernent l'analyse des sons musicaux[9].

Pour calculer l'écart en cents de deux fréquences, ou quand ces fréquences sont le résultat d'un calcul sur d'autres grandeurs mesurées, il faut tenir compte de la propagation des incertitudes.

Lorsque le calcul se base sur la longueur, l'incertitude de mesure qui amène à une expression à un cent près est, de la même façon, d'un peu moins de 0.0006 — soit 0,6 mm sur un mètre. Avec une incertitude de mesure ε l'intervalle en cents se donne à plus ou moins  : le même calcul que pour les cents.

Calcul approché[modifier | modifier le code]

On n'a pas toujours sous la main de quoi calculer un logarithme. Comme le rapport de fréquences correspondant à un demi-ton est très proche de cent fois celui correspondant à un cent, on peut, avec une table donnant les rapports pour les douze demi-tons d'une octave et sans autres moyens de calcul, déterminer une valeur en cents par approximation linéaire dans le demi-ton.

correspondance demi-tons - rapport
demi-tons 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
rapport 1 1.0595 1.122 1.189 1.251 1.335 1.414 1.498 1.587 1.682 1.782 1.888 2

On cherche d'abord le nombre d'octaves, en divisant le rapport par deux jusqu'à ce qu'il se trouve entre 1 et 2. Le nombre de divisions nécessaire est le nombre d'octaves. La table indique le nombre de demi-tons entiers. La différence entre notre résultat et le rapport correspondant au demi-ton entier est le reste ; celle entre les rapports des demi-tons qui l'encadrent est le pas. La division de ce reste par ce pas, multiplié par cent, est le nombre de cents[b]. On obtient un résultat en octaves, demi-tons et cents, facile à convertir en cents puisque une octave en vaut 1200 et un demi-ton, 100.

Exemple :

Quel est l'expression en cents du rapport 3.31÷1 ?

  • 3.31 ÷ 2 = 1.655 : 1 octave
  • 1.655 est entre les rapports correspondant à 8 (1.587) et 9 demi-tons (1.682)
  • le reste est 1.655-1.587 soit 0.068
  • le pas est 1.682-1.587 soit 0.095
  • le nombre de cents est 68/95×100 : 72

1 octave, 8 demi-tons, 72 cents : 1200+800+72 = 2072

Rentré à la maison, nous vérifions avec le calcul plus rigoureux : 1200 × log(3.31)/log(2) ≈ 2072

Histoire[modifier | modifier le code]

L'intérêt pour l'utilisation musicale des logarithmes est presque aussi ancien que les logarithmes eux-mêmes, inventés par John Napier en 1614[10]. Dès 1647, Juan Caramuel y Lobkowitz (1606-1682) décrit dans une lettre à Athanasius Kircher l'usage des logarithmes à base 2 en musique[11]. Dans cette base, l'octave vaut 1, le demi-ton 1/12, etc.

Au début du XIXe siècle l'ingénieur Gaspard de Prony propose d'exprimer de façon décimale les intervalles en utilisant une graduation « analogue à la nature des quantités soumises au calcul », une échelle logarithmique à base , dans laquelle l'unité correspond à un demi-ton au tempérament égal[12].

Le philologue et phonéticien britannique Alexander John Ellis décrit en 1880 un nombre élevé de diapasons anciens qu'il avait relevés ou calculés. Notant que le baron de Prony avait proposé « le système qui mesure les intervalles en demi-tons égaux et fractions[c] », il indique l'intervalle en demi-tons avec deux décimales, c'est-à-dire avec une précision au centième de demi-ton, qui les sépare d'un diapason grave théorique, la3 = 370 Hz, pris comme référence[14]. Ellis publie en 1885 « On the Musical Scales of Various Nations » (Des échelles musicales de différentes nations ), dans lequel il compare les intervalles, exprimés en centièmes de demi-ton, d'échelles musicales décrites par diverses théories musicales non européennes[15]. La musicologie comparée, qui s'intitule ethnomusicologie depuis le milieu du XXe siècle, utilise largement cette unité à laquelle Ellis a donné le nom de cent.

Usage[modifier | modifier le code]

Les études d'Ellis sur l'évolution historique et locale du diapason, en 1880, puis sur différentes échelles musicales, marquent le début de l'usage du centième de demi-ton au tempérament égal, abrégé en cent. On peut exprimer les intervalles en cents pour indiquer les différences entre des accordages[16]. À ce propos, Leipp a exprimé en cents et en savarts la variation de note des tuyaux de l'orgue avec la température (3 cents/°C)[17].

Les ouvrages consacrés aux gammes et tempéraments de la musique occidentale et à l'intonation musicale font un usage fréquent du cent[18].

La normalisation des accordeurs électroniques a imposé le cent[7].

Son usage en ethnomusicologie se heurte à la difficulté de déterminer avec suffisamment de précision la fréquence fondamentale[19].

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

  • cent, sur le Wiktionnaire

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ Cela n'empêche pas les accordeurs d'obtenir une bien meilleure précision en écoutant les battements entre sons simultanés.
  2. ↑ L'erreur maximale se trouve sur la valeur moyenne, elle y atteint 0,7 cents.
  3. ↑ Ellis « n'a pas eu la possibilité de voir son travail sur les logarithmes acoustiques »[13].
  1. ↑ Commission électrotechnique internationale, « Acoustique et électroacoustique : Acoustique musicale », dans IEC 60050 Vocabulaire électrotechnique international, 1987/1994 (lire en ligne), p. 801-30-13 « cent ».
  2. ↑ Commission électrotechnique internationale, « Acoustique et électroacoustique : Acoustique musicale », dans IEC 60050 Vocabulaire électrotechnique international, 1987/1994 (lire en ligne), p. 801-24-11 « fréquence fondamentale ».
  3. ↑ Mario Rossi, Audio, Lausanne, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, , 1re éd. (ISBN 978-2-88074-653-7), p. 60.
  4. ↑ Asselin 2000, p. 183.
  5. ↑ Michèle Castellengo (préf. Jean-Sylvain Liénard et Georges Bloch), Écoute musicale et acoustique : avec 420 sons et leurs sonagrammes décryptés, Paris, Eyrolles, , 541, + DVD-rom (ISBN 9782212138726, présentation en ligne), p. 52 sq.
  6. ↑ Laurent Demany, « Perception de la hauteur tonale », dans Botte & alii, Psychoacoustique et perception auditive, Paris, Tec & Doc, , p. 45.
  7. ↑ a et b Castellengo 2015, p. 406.
  8. ↑ (en) Dennis Gabor, « Theory of communication : Part 1: The analysis of information », Journal of the Institute of Electrical Engineering, Londres, vol. 93-3, no 26,‎ , p. 429-457 (lire en ligne, consulté le )p. 434.
  9. ↑ Castellengo 2015, p. 44 à 46.
  10. ↑ Ernest William Hobson (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge, The University Press.
  11. ↑ Ramon Ceñal, « Juan Caramuel, su epistolario con Athanasio Kircher, S.J. », Revista de Filosofia XII/44, Madrid 1954, p. 134 sq.
  12. ↑ Gaspard de Prony, Instruction élémentaire sur les moyens de calculer les intervalles musicaux : en prenant pour unités ou termes de comparaison, soit l'octave, soit le douzième d'octave, et en se servant de tables qui rendent ce calcul extrêmement prompt et facile : formules analytiques, pour calculer le logarithme acoustique d'un nombre donné et réciproquement, progressions harmoniques, Paris, (lire en ligne) indique que « la méthode et les procédés de calcul formant l'objet de la présente instruction ont déjà été indiqués dans ma Mécanique analytique (1815) ».
  13. ↑ Ellis 1880, p. 34.
  14. ↑ (en) Alexander John Ellis, « On the History of Musical Pitch », Journal of the Society of Arts,‎ , republié dans Studies in the History of Musical Pitch, Frits Knuf, Amsterdam, 1968, p. 11-62.
  15. ↑ (en) Alexander John Ellis, « On the musical scales of various nations », Journal of the Society of Arts, no 33,‎ , p. 485-527 (lire en ligne).
  16. ↑ Benjamin Righetti, « Petit memento de l'accordage », .
  17. ↑ « Réunion sur le diapason », , p. 7.
  18. ↑ (en) Edward M. Burns, « Intervals, Scales, and Tunings », dans Diana Deutsch, The Psychology of Music, Academic Press, , 2e éd., p. 215-264 ; (en) J. Murray Barbour, Tuning and Temperament. A Historical Survey, Michigan College Press, .
  19. ↑ Castellengo 2015, p. 407.


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