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Mesure de la densité relative d'un solide

La densité relative d'un corps solide par rapport à un corps fluide est le rapport de la masse du corps solide sur la masse du corps fluide de volume identique à celui du corps solide. Mesurons cette densité relative en réalisant trois pesées et en immergeant le solide. Les mesures doivent être réalisées dans les mêmes conditions de pression et de température (souvent les conditions normales: 76 cm de mercure, 0°C).

• Corps solide:

Fig.A: Première pesée

Un corps solide $\scriptstyle {\mathcal {C}}_{1}$ est accroché au plateau d'une balance à l'aide d'une tige rigide $\scriptstyle t$ de masse $\scriptstyle M_{t}$ inconnue (figure A). La masse $\scriptstyle m_{1}$ et le volume $\scriptstyle {\mathcal {V}}_{1}$ du corps $\scriptstyle {\mathcal {C}}_{1}$ ne sont pas connus. Une tare $\scriptstyle T$, de masse $\scriptstyle M_{T}$ inconnue, est posée sur l'autre plateau de la balance. L'équilibre du fléau de la balance est réalisé grâce à la présence d'un poids, de masse $\scriptstyle M_{A}$ connue, posée sur le plateau au quel est accroché le corps $\scriptstyle {\mathcal {C}}_{1}$. Les forces agissant sur le fléau, au niveau des deux extrémités $\scriptstyle O$ et $\scriptstyle O'$, sont donc égales:

$\scriptstyle m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{A}\;g\;=\;M_{T}\;g\;\;\;\;(A)$

où $\scriptstyle g$ est l'accélération de la pesanteur.

• Masse du corps solide

Fig.B: Deuxième pesée

Décrochons le corps $\scriptstyle {\mathcal {C}}_{1}$ (figure B). Afin d'équilibrer de nouveau le fléau de la balance, déposons la masse $\scriptstyle M_{A}$ et remplaçons la par une masse $\scriptstyle M_{B}$. Ce nouvel équilibre du fléau permet d'écrire que:

$\scriptstyle M_{t}\;g\;+\;M_{B}\;g\;=\;M_{T}\;g\;\;\;\;(B)$

La tare n'a pas été changée. La masse $\scriptstyle M_{T}$ mentionnée dans l'égalité (A) est donc identique à celle mentionnée dans l'égalité (B), d'où:

$\scriptstyle m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{A}\;g\;=\;M_{t}\;g\;+\;M_{B}\;g\;\;\;\;(C)$

La masse $\scriptstyle m_{1}$ du corps $\scriptstyle {\mathcal {C}}_{1}$ est donc égale à:

$\scriptstyle m_{1}\;=\;M_{B}\;-\;M_{A}\;\;\;\;(D)$

• Densité relative du corps

Fig.C: Troisième pesée

Le corps $\scriptstyle {\mathcal {C}}_{1}$ est de nouveau suspendu au plateau (figure C). Mais, cette fois-ci, il est plongé dans un liquide de masse volumique $\scriptstyle \rho _{L}$ (normalement de l'eau distillée). Afin d'équilibrer la balance, la masse $\scriptstyle M_{B}$ est déposé et une masse $\scriptstyle M_{C}$ est installée à sa place. Le liquide exerce une force sur le corps $\scriptstyle {\mathcal {C}}_{1}$. Il s'agit de la poussée d'Archimède. C'est une force dont la direction est verticale et dont le sens est dirigée vers le haut. Son module est égale à $\scriptstyle \Pi \;=\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g$.

Le fléau de la balance est en équilibre, d'où l'égalité suivante:

$\scriptstyle m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{C}\;g\;-\;\underbrace {\scriptstyle \rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g} _{\Pi }\;=\;M_{T}\;g\;\;\;\;(E)$

La tare n'a pas été changée. La masse $\scriptstyle M_{T}$ mentionnée dans l'égalité (A) est donc identique à celle mentionnée dans l'égalité (E), d'où:

$\scriptstyle m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{A}\;g\;=\;m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{C}\;g\;-\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g\;\;\;\;(F)$

Donc:

$\scriptstyle \Pi \;=\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g\;=\;M_{C}\;g\;-\;M_{A}\;g\;\;\;\;(G)$

Le module $\scriptstyle \Pi \;=\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g$ de la poussée d'Archimède est assimilable au poids d'un corps liquide: le poids du liquide déplacé par le corps solide $\scriptstyle {\mathcal {C}}_{1}$. Nommons $\scriptstyle {\mathcal {C}}_{2}$ ce corps liquide. Le volume, la masse volumique et la masse du corps $\scriptstyle {\mathcal {C}}_{2}$ sont donc respectivement égales à:

$\scriptstyle {\mathcal {V}}_{2}={\mathcal {V}}_{1}\;\;\;et\;\;\;\rho _{2}=\rho _{L}$

$\scriptstyle m_{2}\;=\;\rho _{2}\;{\mathcal {V}}_{2}\;=\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;=\;{\frac {\Pi }{g}}\;=\;M_{C}\;-\;M_{A}\;\;\;(H)$

En tenant compte de (D) et (H), nous pouvons donc déterminer la densité du corps solide $\scriptstyle {\mathcal {C}}_{1}$ par rapport au corps fluide $\scriptstyle {\mathcal {C}}_{2}$:

$d_{1/2}\;=\;{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\;=\;{\frac {\rho _{1}\;{\mathcal {V}}_{1}}{\rho _{2}\;{\mathcal {V}}_{2}}}\;=\;{\frac {\rho _{1}\;{\mathcal {V}}_{1}}{\rho _{2}\;{\mathcal {V}}_{1}}}\;=\;{\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}\;=\;{\frac {M_{B}-M_{A}}{M_{C}-M_{A}}}\;\;\;\;(I)$