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Soit G un groupe abélien fini d'ordre g et d'exposant une puissance n-ième d'un nombre premierp, Fpn le corps fini de cardinal pn, χ un caractère à valeur dans Fpn et f une fonction de G dans Fpn. La transformée de Walsh est une fonction, souvent notée de l'ensemble des caractères de G dans le corps Fpn définie par :[réf. nécessaire]
Le contexte est identique à celui de l'analyse harmonique classique d'un groupe abélien fini. La forme bilinéaire associée à l'algèbre du groupe est alors la suivante :
Il existe un cas particulier, celui ou le groupe G est le groupe additif d'un espace vectoriel fini. Un cas particulier est celui ou G est un corps.
La transformation discrète de Fourier est donnée par
La transformation théorique de nombre[Quoi ?] opère sur une suite de n nombres, modulo un nombre premierp de la forme , où peut être tout nombre entier positif.
Le nombre est remplacé par un nombre où est une racine primitive de p, un nombre où le plus petit nombre entier positif où est . Il devrait y avoir une quantité d' qui satisfassent à cette condition. Les deux nombres et élevés à la puissance n sont égaux à 1 (mod p), toutes les puissances inférieures différentes de 1.
La transformation théorique de nombre est donnée par
On vérifie que cette formule donne bien l'inverse car vaut n pour z=1 et 0 pour tous les autres valeurs de z vérifiant . En effet, on a la relation (qui devrait fonctionner dans toute algèbre à division)