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Théorème de Rouché

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En analyse complexe, le théorème de Rouché[1] est un énoncé portant sur les zéros et les pôles des fonctions méromorphes. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Eugène Rouché.

Soit un ouvert simplement connexe, soient f et g deux fonctions méromorphes sur avec un ensemble fini de zéros et de pôles. Soit γ un lacet simple à image dans formant le bord d'un compact . Si

pour tout point z de γ

alors

et sont respectivement le nombre de zéros et de pôles de (en tenant compte de leur multiplicité) contenus dans .

Considérons les deux fonctions polynomiales f et g définies par :

et considérons pour lacet le cercle . On vérifie que sur ce lacet :

et

.

On peut donc appliquer le théorème de Rouché :

puisque f et g n'ont pas de pôle. Par ailleurs, g a un zéro triple à l'origine, ce qui nous indique donc que la fonction f admet trois zéros dans le disque ouvert .

Démonstration

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Si pour tout , alors f et g ne s'annulent pas sur (sinon l'inégalité stricte ne pourrait pas être vérifiée). Soit h la fonction méromorphe sur , holomorphe et ne s'annulant pas sur définie par :

.

Pour tout point z de γ,

.

L'image de par est donc contenue dans le disque ouvert de rayon 1 et de centre 1 et par conséquent elle ne tourne pas autour de l'origine. En appliquant le principe de l'argument on a donc :

.

D'autre part,

.

Par conséquent,

.

Finalement, en utilisant à nouveau le principe de l'argument, on obtient

.

Applications

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Soit un polynôme à valeurs dans et défini par :

en supposant . Soit suffisamment grand pour que pour tout (cercle de rayon R) on ait :

(par exemple convient).

Étant donné que admet un zéro d'ordre à l'origine, doit admettre zéros dans le disque ouvert par application du théorème de Rouché.

Généralisations

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Un siècle plus tard, Theodor Estermann[2] a affaibli l'hypothèse de Rouché, obtenant :

Soient f et g deux fonctions méromorphes à l'intérieur d'un lacet simple rectifiable γ et continues au bord, et telles que

pour tout point z de γ.

Alors, comme ci-dessus,

[3].

Références

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  1. Journal de l'École polytechnique, 1862, p. 217-218.
  2. (en) T. Estermann, Complex Numbers and Functions, Athlone Press, London, 1962, p. 156.
  3. (en) I-Hsiung Lin, Classical Complex Analysis: A Geometric Approach, vol. 1, World Scientific, (ISBN 978-9-81426123-4, lire en ligne), p. 558.

Article connexe

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Théorème de Hurwitz sur les suites de fonctions holomorphes

Bibliographie

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