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Théorème de Zsigmondy

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En théorie des nombres, le théorème de Zsigmondy, portant le nom de Karl Zsigmondy, énonce que si a > b > 0 sont des entiers premiers entre eux, alors pour tout entier n ≥ 1, il existe un nombre premier p (appelé diviseur premier primitif) qui divise anbn et ne divise pas akbk pour 0 < k < n, avec les exceptions suivantes[1] :

  • n = 1, ab = 1 ; dans ce cas anbn = 1 n'a pas de diviseurs premiers ;
  • n = 2, et a + b une puissance de deux ; dans ce cas n'importe quel facteur premier impair de a2b2 = (a + b)(a1b1) doit être contenu dans a1b1, qui est aussi pair ;
  • n = 6, a = 2, b = 1 ; alors, a6b6 = 63 = 32×7 = (a2b2)2(a3b3).

Cela généralise un théorème de Bang, qui énonce que si n > 1 et n différent de 6, alors 2n − 1 a un diviseur premier qui ne divise 2k − 1 pour aucun k < n.

De même, an + bn a au moins un diviseur premier primitif, à l'exception de 23 + 13 = 9.

Le théorème de Zsigmondy est souvent utile, en particulier en théorie des groupes, où il est utilisé pour démontrer que différents groupes ont des ordres distincts, sauf quand ils sont égaux.[pas clair]

Le théorème a été découvert par Zsigmondy, qui travaillait à Vienne de 1894 à 1925.

Généralisations

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Soit une suite d'entiers non nuls. L'ensemble de Zsigmondy associé à la suite est l'ensemble

,

c'est-à-dire l'ensemble des indices  tels que tout nombre premier divisant  divise aussi  pour un certain . Ainsi, le théorème de Zsigmondy implique que , et le théorème de Carmichael énonce que l'ensemble de Zsigmondy de la suite de Fibonacci est , et celui de la suite de  Pell est . En 2001, Bilu, Hanrot et Voutier[2] ont prouvé qu'en général, si  est une suite de Lucas ou une suite de Lehmer (en), alors .

Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Zsigmondy's theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. Mohammed Aassila, 1000 challenges mathématiques, Algèbre, Ellipses, , p. 139
  2. (en) Y. Bilu, G. Hanrot et P. M. Voutier, « Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers », J. reine angew. Math., vol. 539,‎ , p. 75-122.

Bibliographie

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Lien externe

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(en) Eric W. Weisstein, « Zsigmondy Theorem », sur MathWorld