Application non expansive

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En mathématiques, une application non expansive entre espaces normés est une application L-lipschitzienne de module L=1. Il s'agit donc du cas limite des applications contractantes, pour lesquelles L<1.

Contrairement aux applications contractantes, les applications non expansives n'ont pas nécessairement de point fixe (par exemple, si a est un élément non nul, l'application x\mapsto x+a est non expansive et n'a pas de point fixe). Par ailleurs, même si une application non expansive T a un point fixe, la suite des approximations successives \{T^kx_0\} ne converge pas nécessairement vers un tel point (c'est le cas pour l'application -I, l'opposé de l'identité) ; on peut toutefois obtenir des résultats de convergence vers un point fixe d'au moins deux manières : soit en imposant des conditions plus restrictives sur l'application (sans toutefois aller jusqu'à la contraction), soit en modifiant la suite des itérés.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient \mathbb{E} un espace normé, dont la norme est notée \|\cdot\|, et P une partie fermée de \mathbb{E}. On dit qu'une application T:P\to\mathbb{E} est non expansive[1] si


\forall\,(x,y)\in P\times P:\qquad
\|Tx-Ty\|\leqslant\|x-y\|.

Malgré la notation Tx pour la valeur prise en x de cette application, celle-ci n'est pas supposée linéaire ; on la note d'ailleurs aussi T(x).

Soient \mathbb{E} un espace de Hilbert dont le produit scalaire est noté \langle\cdot,\cdot\rangle et P une partie fermée de \mathbb{E}. On dit qu'une application T:P\to\mathbb{E} est fermement non expansive si


\forall\,(x,y)\in P\times P:\qquad
\langle Tx-Ty,x-y\rangle\geqslant\|Tx-Ty\|^2.

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, une application fermement non expansive est non expansive ; elle est aussi monotone.

Point fixe[modifier | modifier le code]

On rappelle que x\in P est un point fixe de T:P\to\mathbb{E} si Tx=x.

Voici des conditions assurant la convexité de l'ensemble des points fixes d'une application non expansive[2].

Convexité de l'ensemble des points fixes — Si

alors l'ensemble des points fixes de T est un convexe (éventuellement vide) de C.

Le résultat d'existence de point fixe suivant est dû à Browder (1965).

Théorème de Browder — Si

alors T a un point fixe dans C.

Approximations successives[modifier | modifier le code]

On s'intéresse ici à la convergence des approximations successives


T^kx_0=(\underbrace{T\circ\cdots\circ T}_{\mbox{k fois}})(x_0)

vers un point fixe éventuel d'une application non expansive T. Le résultat suivant est dû à Opial (1967).

Théorème d'Opial — Si \mathbb{E} est un espace de Hilbert, si C est un convexe fermé de \mathbb{E} et si T:C\to C est une application vérifiant les propriétés suivantes :

  • T est non expansive,
  • \forall\,x_0\in\ C, T^{k+1}x_0-T^kx_0\to0 lorsque k\to\infty,
  • T a un point fixe dans C,

alors, pour tout x_0\in C, la suite \{T^kx_0\} converge faiblement vers un point fixe de T dans C.

Ce résultat ne peut pas être généralisé à tous les espaces uniformément convexes.

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Certains auteurs, dont Brézis (1973), appellent une application non expansive une contraction, une application contractante étant appelée une contraction stricte.
  2. Voir par exemple Brézis (1973), théorème 1.2.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • H. Brézis, Opérateurs Maximaux Monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, Mathematics Studies 5, Amsterdam, North-Holland, 1973 (ISBN 978-0-7204-2705-9)
  • (en) F.E. Browder, « Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space », dans PNAS, vol. 54, 1965, p. 1041–1044
  • (en) Z. Opial (pl), « Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings », dans Bull. Amer. Math. Soc., vol. 73, 1967, p. 591-597