Application non expansive

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En mathématiques, une application non expansive entre espaces normés est une application -lipschitzienne de module . Il s'agit donc du cas limite des applications contractantes, pour lesquelles .

Contrairement aux applications contractantes, les applications non expansives n'ont pas nécessairement de point fixe (par exemple, si est un élément non nul, l'application est non expansive et n'a pas de point fixe). Par ailleurs, même si une application non expansive a un point fixe, la suite des approximations successives ne converge pas nécessairement vers un tel point (c'est le cas pour l'application , l'opposé de l'identité) ; on peut toutefois obtenir des résultats de convergence vers un point fixe d'au moins deux manières : soit en imposant des conditions plus restrictives sur l'application (sans toutefois aller jusqu'à la contraction), soit en modifiant la suite des itérés.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient un espace normé, dont la norme est notée , et une partie fermée de . On dit qu'une application est non expansive[1] si

Malgré la notation pour la valeur prise en de cette application, celle-ci n'est pas supposée linéaire ; on la note d'ailleurs aussi .

Soient un espace de Hilbert dont le produit scalaire est noté et une partie fermée de . On dit qu'une application est fermement non expansive si

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, une application fermement non expansive est non expansive ; elle est aussi monotone.

Point fixe[modifier | modifier le code]

On rappelle que est un point fixe de si .

Voici des conditions assurant la convexité de l'ensemble des points fixes d'une application non expansive[2].

Convexité de l'ensemble des points fixes — Si

  • est un espace normé strictement convexe,
  • est un convexe non vide de ,
  • est une application non expansive,

alors l'ensemble des points fixes de est un convexe (éventuellement vide) de .

Le résultat d'existence de point fixe suivant est dû à Browder (1965).

Théorème de Browder — Si

alors a un point fixe dans .

Approximations successives[modifier | modifier le code]

On s'intéresse ici à la convergence des approximations successives

vers un point fixe éventuel d'une application non expansive . Le résultat suivant est dû à Opial (1967).

Théorème d'Opial — Si est un espace de Hilbert, si est un convexe fermé de et si est une application vérifiant les propriétés suivantes :

  • est non expansive,
  • , lorsque ,
  • a un point fixe dans ,

alors, pour tout , la suite converge faiblement vers un point fixe de dans .

Ce résultat ne peut pas être généralisé à tous les espaces uniformément convexes.

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Certains auteurs, dont Brézis (1973), appellent une application non expansive une contraction, une application contractante étant appelée une contraction stricte.
  2. Voir par exemple Brézis (1973), théorème 1.2.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • H. Brézis, Opérateurs Maximaux Monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, Mathematics Studies 5, Amsterdam, North-Holland, 1973 (ISBN 978-0-7204-2705-9)
  • (en) F.E. Browder, « Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space », dans PNAS, vol. 54, 1965, p. 1041–1044
  • (en) Z. Opial (pl), « Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings », dans Bull. Amer. Math. Soc., vol. 73, 1967, p. 591-597