Théorème des trois carrés
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En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, le théorème des trois carrés s'énonce de la manière suivante :
(1) Un entier naturel est somme de trois carrés d'entiers si (et seulement si) il n'est pas de la forme 4j × (8k – 1) avec j et k entiers.
Histoire
N. Beguelin découvre en 1774[1] que chaque entier positif qui n'est ni de la forme 8n + 7, ni de la forme 4n, est somme de 3 carrés, sans pour autant fournir de preuve satisfaisante[2]. Cette assertion est clairement équivalente[3] à l'assertion (1) ci-dessus, dont A.-M. Legendre, en 1797 ou 1798[4], donne une preuve défectueuse[5]. En 1801, C. F. Gauss donne la première preuve correcte et complète de ce théorème[6], en comptant même les solutions de l'écriture d'un entier en somme de trois carrés, ce qui généralise un autre résultat de Legendre[7], dont la preuve laissait également à désirer[8].
Avec le théorème des quatre carrés de Lagrange (qui devient d'ailleurs un corollaire du théorème des trois carrés[9]) et le théorème des deux carrés de Girard, Fermat et Euler, le problème de Waring pour k = 2 est entièrement résolu.
Preuves
Le sens « seulement si » de l'équivalence est simplement dû au fait que modulo 8, tout carré est congru à 0, 1 ou 4. Pour la réciproque, les trois outils principaux de la preuve, due à J. P. G. L. Dirichlet en 1850[10],[11] et devenue classique[9], sont
- la loi de réciprocité quadratique,
- le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet et
- la classe d'équivalence de la forme quadratique ternaire x12 + x22 + x32.
Cette réciproque peut également se déduire du théorème de Davenport-Cassels[12], qui permet même de montrer que dès qu'un entier est somme de trois carrés de rationnels, il est somme de trois carrés d'entiers.
Notes et références
- « Démonstration du théorème de Bachet, et analyse des nombres en triangulaires & en quarrés », Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, publ. 1776), p. 312-369.
- (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. II, p. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, reprint).
- A. L. Cauchy, « Démonstration du théorème général de Fermat sur les nombres polygones », Mém. Sci. Math. Phys. de l'Institut de France, (1) 14 (1813-1815), p. 177 et suiv., Œuvres complètes, série 2, tome 6, p. 320 et suiv. : voir p. 323.
- A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, An VI (1797-1798), p. 202 et 398-399.
- Dickson, p. 261, ne remarque pas les défauts de cette preuve, mais voir l'analyse précise de Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae, [détail des éditions], Addition aux Nos 288-293, [lire sur Wikisource] et les commentaires de (en) André Weil, Number Theory : An approach through history from Hammurapi to Legendre [détail des éditions], p. 332 et précédentes sur Google Livres ou (en) Elena Deza et Michel Marie Deza, Figurate Numbers, World Scientific, (lire en ligne), p. 314.
- Gauss 1801, Art. 291 et 292, [lire sur Wikisource].
- A.-M. Legendre, « Recherches d'analyse indéterminée », Hist. et Mém. Acad. Roy. Sci. Paris, 1785, p. 465-559 : p. 514-515.
- Dickson, p. 261-262.
- Voir par exemple vol. I, partie III, chap. 4 de : (de) E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie, New York, Chelsea, 1927.
- (de) G. Lejeune Dirichlet, « Über die Zerlegbarkeit der Zahlen in drei Quadrate », J. reine angew. Math., vol. 40, , p. 228-232 (lire en ligne).
- G. Lejeune-Dirichlet, « Sur la possibilité de la décomposition des nombres en trois carrés », J. math. pures appl. (2), vol. 4, , p. 233-240 (lire en ligne).
- Pour une autre démonstration, voir par exemple (en) N. C. Ankeny (en), « Sums of Three Squares », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 8, no 2, , p. 316-319 (lire en ligne).
Voir aussi
Articles connexes
- Théorème des deux carrés de Fermat
- Théorème des quatre carrés de Lagrange
- Théorème de Legendre
- Théorèmes de Gauss
- Théorèmes de Dirichlet
- Théorème des nombres polygonaux de Fermat
Bibliographie
André Weil, « Sur les sommes de trois et quatre carrés », L'Enseignement mathématique, vol. 20, , p. 215-222 (lire en ligne)
Liens externes
- (en) Pete L. Clark, « Representations of integers by quadratic forms », , p. 5-7
- B. Meyer, « Somme de carrés d'entiers », sur Université de Bordeaux I, , p. 9
- (en) Jan Wójcik, « On sums of three squares », Colloq. Math., vol. 24, , p. 117-119 (lire en ligne)
