Théorème de convergence de Lévy

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En théorie des probabilités, le théorème de continuité de Lévy, nommé d'après le mathématicien Paul Lévy, relie la convergence en loi d'une suite de variables aléatoires avec la convergence ponctuelle de leur fonction caractéristique. Ce théorème est également appelé théorème de convergence de Lévy, théorème de continuité de Lévy-Cramér[1] ou encore en associant d'autres noms tels que théorème de Lévy-Cramér-Dugué[2].

Ce théorème de convergence fondamental est particulièrement utile pour démontrer le théorème central limite.

Historique[modifier | modifier le code]

L'utilisation des fonctions caractéristiques en théorie des probabilités remonte aux travaux de Pierre-Simon de Laplace entre 1812 et 1820. Cependant leur première utilisation rigoureuse dans une démonstration date des travaux d'Alexandre Liapounov en 1901. La première version du théorème général de continuité a été établie en 1922 par Paul Lévy qui considère une convergence uniforme des fonctions caractéristiques dans un voisinage de l'origine[3],[4]. Une démonstration plus générale est ensuite issue d'une discussion entre Lévy et George Pólya[4].

Une version plus générale a été donnée par Salomon Bochner en 1933. Depuis de nombreuses extensions ont été étudiées.

Énoncés[modifier | modifier le code]

Énoncé simple[modifier | modifier le code]

Posons une suite de variables aléatoires \scriptstyle (X_n)_{n\in \mathbb N}, pas nécessairement définies sur le même espace de probabilité. Les fonctions \scriptstyle \varphi_n et \scriptstyle \varphi sont les fonctions caractéristiques respectives des variables aléatoires \scriptstyle X_n et \scriptstyle X définies par :

\varphi_n(t) = \mathbb{E} [ e^{itX_n}] \quad \forall t\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{N} \quad \text{et} \quad \varphi(t) = \mathbb{E} [ e^{itX}] \quad \forall t\in\mathbb{R}.

Théorème de continuité de Lévy[2] — 

\left\{\forall t\in\mathbb{R} : \varphi_n(t)\to\varphi(t)\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{ X_n \xrightarrow{\mathcal L} X\right\}.

Énoncé plus détaillé[modifier | modifier le code]

Posons une suite de variables aléatoires \scriptstyle (X_n)_{n\in \mathbb N}, pas nécessairement définies sur le même espace de probabilité. La fonction \scriptstyle \varphi_n est la fonction caractéristique de la variable aléatoire \scriptstyle X_n définie par :

\varphi_n(t) = \mathbb{E} [ e^{itX_n}] \quad \forall t\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{N}.

Théorème de continuité de Lévy (plus détaillé) —  Si la suite de fonctions caractéristiques converge ponctuellement vers une fonction \scriptstyle \varphi, c'est-à-dire : \scriptstyle \varphi_n(t)\to\varphi(t) \quad \forall t\in\mathbb{R}, alors les assertions suivantes sont équivalentes :

  • \scriptstyle X_n converge en loi vers une variable aléatoire \scriptstyle X : c'est-à-dire \scriptstyle X_n\ \underset{n\rightarrow \infty}{\xrightarrow{\mathcal L}}\ X ;
  • \scriptstyle (X_n)_{n\in \mathbb N} est tendue : c'est-à-dire \scriptstyle \lim_{x\to\infty}\left( \sup_n \operatorname{P}\big[\, |X_n|>x \,\big]\right) = 0 ;
  • la fonction \scriptstyle \varphi est la fonction caractéristique d'une variable aléatoire la fonction \scriptstyle X ;
  • la fonction \scriptstyle \varphi est une fonction continue ;
  • la fonction \scriptstyle \varphi est continue en 0.

Énoncé pour les lois de probabilité[modifier | modifier le code]

Le théorème de continuité de Lévy ne dépend pas du choix des variables aléatoires mais de leur loi. Considérons une suite \scriptstyle (\mu_n)_{n\in \mathbb N} de lois de probabilité, c'est-à-dire de mesures positives de masse 1 sur \scriptstyle \mathbb R^m. Notons respectivement \scriptstyle\hat{\mu_n} et \scriptstyle\hat{\mu} leur transformées de Fourier, définies par:

\hat{\mu}_n(t) = \int e^{itx} \mu_n({\rm d}x) \quad \text{et} \quad \hat{\mu}(t) = \int e^{itx} \mu({\rm d}x)\quad \forall t\in \mathbb R.

Théorème de continuité de Lévy (pour les mesures)[a 1],[5] — 

(\mu_n)_{n\in \mathbb N} converge étroitement vers \mu si et seulement si (\hat{\mu}_n)_{n\in \mathbb N} converge vers une fonction continue en 0.

De plus cette fonction continue en 0 est égale à la transformée de Fourier \scriptstyle \hat{\mu}.

Une démonstration est disponible dans l'ouvrage de Varadhan[6], Théorème 2.3, p26.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Grâce à l'utilisation de la théorie des transformées de Fourier, le théorème de continuité de Lévy a été généralisé sur des espaces à structures algébriques et topologiques[a 2].

En 1965, J. Feldman donne une version du théorème de continuité pour les espaces de Hilbert[a 3].

En 1972, C. A. Akemann et M. E. Walter donnent une version pour les groupes localement compacts ; S. R. Barker en 1976 et Ph. Bougerol en 1984 s'intéressent au cas des groupes localement compacts séparables ; en 1978, S. Teleman et E. Siebert énoncent le cas des groupes localement compacts non nécessairement séparables. Le cas des hypergroupes localement compacts a été étudié par W. R. Bloom en 1995 et D. A. Edwards en 1991 et 1999. En 1998, W. Banaszczyk étudie le cas des Groupes topologiques abéliens et des groupes nucléaires. Notons également les travaux de X. Fernique en 1968 et de P. Boulicaut en 1972[a 2].

Utilisations[modifier | modifier le code]

Le théorème de convergence de Lévy permet entre autres de montrer le théorème central limite ou encore le théorème des événements rares, dit théorème de Poisson.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Ouvrages
  1. Varadhan 2001, p. 25
  2. a et b Saporta 2006, p. 62
  3. Kallenberg 2002, p. 572
  4. a et b Fischer 2001, p. 232
  5. Kallenberg 2002, p. 100
  6. Varadhan 2001, p. 26
Articles et autres sources
  1. Paul-André Meyer, « Le théorème de continuité de P. Lévy sur les espaces nucléaires », Séminaire N. Bourbaki, no 311,‎ 1966, p. 509-522 (lire en ligne)
  2. a et b (en) Herbert Heyer et Satoshi Kawakami, « Paul Lévy’s Continuity Theorem: Some History and Recent Progress », Bull Nara Univ. Educ., vol. 54, no 2,‎ 2005, p. 11-21 (lire en ligne)
  3. (en) J. Feldman, « A short proof of the levy continuity theorem in Hilbert space », Israel Journal of Mathematics, vol. 3, no 2,‎ 1965, p. 99-103

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]