Théorème de Heine

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Le théorème de Heine, démontré par Eduard Heine en 1872[1],[2], s'énonce ainsi : toute application continue d'un espace métrique compact dans un espace métrique quelconque est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue d'un segment [a, b] dans est uniformément continue.

Énoncé et démonstration pour les fonctions numériques[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Toute application continue d'un segment [a, b] dans ℝ est uniformément continue.

L'application, notée f, étant continue en tout point x, nous savons que :

Le théorème de Heine permet d'affirmer plus : elle est uniformément continue, c'est-à-dire que η peut être choisi indépendamment de x, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs :

L'uniforme continuité de f s'exprime en effet par :

.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Une première méthode[3] est de raisonner par contraposée, en supposant f non uniformément continue et en prouvant qu'elle est alors discontinue en au moins un point, grâce à la propriété de Bolzano-Weierstrass dans ℝ (toute suite réelle bornée possède une sous-suite convergente).

Un autre est d'utiliser comme suit le théorème de Borel-Lebesgue (de tout recouvrement ouvert de [a, b], on peut extraire un sous-recouvrement fini) :

Pour tout x et y de [a, b], on note d(x, y) = |x – y| et, pour tout r > 0, B(x, r) = ]xr, x + r[.

Fixons un ε > 0 et posons, pour tout , (où les sont donnés par la continuité de f).

La famille d'ouverts est un recouvrement de [a, b]. Il existe donc une partie finie Z de [a, b] telle que .

Posons Alors, pour tous tels que , en choisissant un tel que on obtient :

donc

La valeur η trouvée étant bien indépendante de x, la continuité uniforme est démontrée.

Énoncé et démonstrations dans le cas général[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Soient X un espace métrique compact et Y un espace métrique. Toute application continue de X dans Y est uniformément continue.

On note f l'application, d la distance sur X et d' la distance sur Y. L'uniforme continuité de f s'exprime alors par :

Remarque
Par l'une ou l'autre des deux variantes de la « démonstration directe » ci-dessous, on obtient plus généralement que si et sont deux espaces métriques et une partie compacte de alors, pour toute application continue  :
.

Démonstration directe[modifier | modifier le code]

On peut reproduire la démonstration précédente en remplaçant simplement [a, b] par X, ℝ par Y, théorème de Borel-Lebesgue par définition de la compacité (ou même directement par précompacité), et valeur absolue de la différence par distance.

De même, la variante utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass s'adapte sans difficulté.

Démonstration par le théorème des bornes[modifier | modifier le code]

Par « théorème des bornes » on entend ici la version générale suivante du théorème des bornes usuel :

Toute application continue d'un compact non vide dans ℝ atteint sa borne inférieure (et sa borne supérieure).

Pour tout ε > 0, en appliquant ce théorème au compact

et à l'application d, on obtient, si K est non vide, un η vérifiant la propriété voulue :

(Si K est vide, on peut choisir η arbitrairement.)

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Hélène Gispert-Chambaz, Camille Jordan et les fondements de l'analyse, Université de Paris-Sud, Publications mathématiques d'Orsay, (lire en ligne), p. 18.
  2. (de) E. Heine, « Die Elemente der Functionenlehre », J. reine angew. Math., vol. 74,‎ , p. 172-188 (lire en ligne).
  3. Voir par exemple le chapitre « Continuité uniforme » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle sur la Wikiversité..

Articles connexes[modifier | modifier le code]