Théorème de Heine

En mathématiques, le théorème de Heine, donne une condition suffisante pour qu’une application continue soit uniformément continue. Il s’énonce sous la forme :

Toute application continue d’un espace métrique compact dans un espace métrique quelconque est uniformément continue.

Cela implique notamment que toute application continue sur un segment [a, b] de ℝ est uniformément continue.

Il doit son nom au mathématiciens Eduard Heine qui l’a démontrée dans un article publié en 1872. Bien que Dirichlet l’avait déjà démontrée dans ses cours en 1854.

Historique

La notion de continuité uniforme naît dans la seconde partie du XIX^e siècle. Le premier à l’utiliser est Dirichlet dans son cours d’analyse, dans lequel il démontre aussi ce qu’on appelle aujourd’hui le théorème de Heine.

Cependant ses cours ne seront publiés qu’en 1904 par l’un de ses étudiants Gustav Arendt. Edurard Heine est le premier à publier ses résultats dans un article paru en 1871. Ce résultat sera généralisé par d’autres mathématiciens comme Carl-Johannes Thomae et Jacob Lüroth, en 1873, Gaston Darboux en 1875.

Tous utilisent que l’on peut recouvrir tout segment $[a,b]$ en un nombre fini d’intervalle, ce qu’on appelle aujourd’hui la propriété de Borel-Lebesgue. C'est ce théorème qui poussera à définir la notion de compacité.

Énoncés et démonstrations

Cas des fonctions numériques

Théorème — Toute application continue d'un segment [a, b] dans ℝ est uniformément continue.

L'application, notée $f:[a,b]\to \mathbb {R}$, étant continue en tout point x, nous savons que :

$\forall x\in [a,b],\forall \varepsilon >0,\exists \eta _{x,\varepsilon }>0\quad {\text{tel que}}\quad \forall y\in [a,b],|x-y|<\eta _{x,\varepsilon }\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon .$

Le théorème de Heine permet d'affirmer plus, f est uniformément continue et donc η peut être choisi indépendamment de x, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs :

$\forall x\in [a,b],\exists \eta _{x,\varepsilon }\quad {\text{en}}\quad \exists \eta _{\varepsilon },\forall x\in [a,b].$

L'uniforme continuité de f s'exprime en effet par :

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta _{\varepsilon }>0\quad \forall x\in [a,b],\forall y\in [a,b]\quad \left(|x-y|<\eta _{\varepsilon }\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon \right)$.

Généralisation aux espaces métriques

Théorème — Soient (X, d) et (Y, d') deux espace métrique et A une partie compact de X. Toute application continue de A dans Y est uniformément continue.

On note f l'application, d la distance sur X et d' la distance sur Y. L'uniforme continuité de f s'exprime alors par :

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall a,b\in X\quad d(a,b)<\eta \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\varepsilon .$

Remarque

Dans $\mathbb {R}$ les partie compacts sont exactement les segments $[a,b]$, on retrouve alors l’énoncé pour les fonctions numériques.

Démonstrations

Il existe différentes définition de la compacité dans un espace métrique, chacune peut servir à démontrer le théorème de Heine.

Par le théorème de Bolzano-Weierstrass

Une première méthode le théorème de Bolzano-Weierstrass en raisonnant par contraposée. En supposant f non uniformément continue et en prouvant qu'elle est alors discontinue en au moins un point, grâce au théorème de Bolzano-Weierstrass.

Par le théorème de Borel-Lebesgue

Fixons $\varepsilon >0$. Pour tout $x\in A$ il existe $\eta _{x,\varepsilon /2}$ tel que $\forall y\in [a,b],d(x,y)<\eta _{x,\varepsilon /2}\implies d(f(x),f(y))<\varepsilon /2$ par continuité de $f$ en $x$.

En notant $\beta _{x,\varepsilon }={\frac {1}{2}}\eta _{x,\varepsilon /2}$, la famille d'ouverts ${\Big (}B(x,\beta _{x,\varepsilon }){\Big )}_{x\in X}$ est un recouvrement de $A$. Il existe donc une partie finie $Z$ de $A$ telle que $A\subset \bigcup _{z\in Z}B(z,\beta _{z,\varepsilon })$.

Posons $\eta =\eta _{\varepsilon }=\min _{z\in Z}\beta _{z,\varepsilon }$.

Alors, pour tous $x,y\in [a,b]$ tels que $d(x,y)<\eta$, en choisissant un $z\in Z$ tel que $x\in B(z,\beta _{z,\varepsilon })$ on obtient :

$d(x,z)<\beta _{z,\varepsilon }{\text{ et }}d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)<\eta +\beta _{z,\varepsilon }\leq 2\beta _{z,\varepsilon }=\eta _{z,\varepsilon /2}$

donc

$d(f(x),f(y))\leq d(f(x),f(z))+d(f(z),f(y))<\varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon .$

La valeur $\eta$ trouvée étant bien indépendante de $x$, la continuité uniforme est démontrée.

Démonstration par le théorème des bornes

Par « théorème des bornes » on entend ici la version générale suivante du théorème des bornes usuel :

Toute application continue d'un compact non vide dans $\mathbb {R}$ atteint sa borne inférieure (et sa borne supérieure).

Pour tout $\varepsilon >0$, en appliquant ce théorème au compact

$K:=\{(x,y)\in A\times A\mid d'(f(x),f(y))\geq \varepsilon \},$

et à l'application $d$, on obtient, si $K$ est non vide, un $\eta$ vérifiant la propriété voulue :

$\eta :=\inf d(K)>0.$

(Si $K$ est vide, on peut choisir $\eta$ arbitrairement.)

Articles connexes

• Lemme de Cousin
• Fonction réglée
• Fonction affine par morceaux