En géométrie euclidienne , le théorème de la médianethéorème d'Apollonius , ou formules de la médiane , désigne les trois identités suivantes[ 1] distances et des produits scalaires , dans un triangle ABC de médiane AI et de hauteur AH :
A
B
2
+
A
C
2
=
1
2
B
C
2
+
2
A
I
2
,
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
I
2
−
1
4
B
C
2
,
|
A
B
2
−
A
C
2
|
=
2
B
C
×
I
H
.
{\displaystyle {\begin{aligned}AB^{2}+AC^{2}&={\frac {1}{2}}BC^{2}+2AI^{2},\\{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}&=AI^{2}-{\frac {1}{4}}BC^{2},\\\left|AB^{2}-AC^{2}\right|&=2BC\times IH.\end{aligned}}}
Premier théorème de la médiane ou théorème d'Apollonius [ modifier | modifier le code ]
Théorème d'Apollonius — Soient (ABC ) un triangle quelconque et AI la médiane issue de A . On a alors la relation suivante :
A
B
2
+
A
C
2
=
2
B
I
2
+
2
A
I
2
{\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2BI^{2}+2AI^{2}}
A
B
2
+
A
C
2
=
1
2
B
C
2
+
2
A
I
2
.
{\displaystyle AB^{2}+AC^{2}={1 \over 2}BC^{2}+2AI^{2}.}
Ce théorème est une reformulation de l'identité du parallélogramme .
Cette propriété est un cas simple de la réduction de la fonction scalaire de Leibniz : il suffit de faire intervenir le point I dans les deux vecteurs
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
A
C
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}
relation de Chasles :
A
B
2
+
A
C
2
=
(
A
I
→
+
I
B
→
)
2
+
(
A
I
→
+
I
C
→
)
2
.
{\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=({\overrightarrow {AI}}+{\overrightarrow {IB}})^{2}+({\overrightarrow {AI}}+{\overrightarrow {IC}})^{2}.}
A
B
2
+
A
C
2
=
A
I
2
+
I
B
2
+
2
A
I
→
⋅
I
B
→
+
A
I
2
+
I
C
2
+
2
A
I
→
⋅
I
C
→
.
{\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=AI^{2}+IB^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IB}}+AI^{2}+IC^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IC}}.}
I est milieu de [BC ], donc
I
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {IB}}}
I
C
→
{\displaystyle {\overrightarrow {IC}}}
IC 2 = IB 2 donc
A
B
2
+
A
C
2
=
2
A
I
2
+
2
I
B
2
.
{\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+2IB^{2}.}
Démonstration n'utilisant que les théorèmes sur les distances [ modifier | modifier le code ] Soit H le pied de la hauteur issue de A . Les trois triangles AHB , AHC et AHI sont rectangles en H ; en leur appliquant le théorème de Pythagore , on obtient :
A
B
2
=
A
H
2
+
H
B
2
,
A
C
2
=
A
H
2
+
H
C
2
e
t
A
I
2
=
A
H
2
+
H
I
2
.
{\displaystyle AB^{2}=AH^{2}+HB^{2},\quad AC^{2}=AH^{2}+HC^{2}\quad {\rm {et}}\quad AI^{2}=AH^{2}+HI^{2}.}
On en déduit :
A
B
2
+
A
C
2
=
H
B
2
+
H
C
2
+
2
A
H
2
=
H
B
2
+
H
C
2
+
2
(
A
I
2
−
H
I
2
)
.
{\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=HB^{2}+HC^{2}+2AH^{2}=HB^{2}+HC^{2}+2(AI^{2}-HI^{2}).}
On exprime HB et HC en fonction de HI et BI . Quitte à intervertir B et C si nécessaire, on peut toujours supposer que B et H sont du même côté de I . Alors,
H
B
=
|
H
I
−
B
I
|
et
H
C
=
H
I
+
I
C
=
H
I
+
B
I
.
{\displaystyle HB=|HI-BI|{\text{ et }}HC=HI+IC=HI+BI.}
On peut donc transformer, dans l'expression ci-dessus de
A
B
2
+
A
C
2
{\displaystyle AB^{2}+AC^{2}}
H
B
2
+
H
C
2
=
(
H
I
−
B
I
)
2
+
(
H
I
+
B
I
)
2
=
H
I
2
−
2
H
I
⋅
B
I
+
B
I
2
+
H
I
2
+
2
H
I
⋅
B
I
+
B
I
2
=
2
H
I
2
+
2
B
I
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}HB^{2}+HC^{2}&=(HI-BI)^{2}+(HI+BI)^{2}\\&=HI^{2}-2HI\cdot BI+BI^{2}+HI^{2}+2HI\cdot BI+BI^{2}\\&=2HI^{2}+2BI^{2}.\end{aligned}}}
En remplaçant, on obtient :
A
B
2
+
A
C
2
=
2
H
I
2
+
2
B
I
2
+
2
(
A
I
2
−
H
I
2
)
=
2
B
I
2
+
2
A
I
2
.
{\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2HI^{2}+2BI^{2}+2(AI^{2}-HI^{2})=2BI^{2}+2AI^{2}.}
La démonstration ci-dessus par le produit scalaire se généralise, ce qui permet de démontrer :
Soient (ABC ) un triangle, J un point de [BC ] différent de B , et k = JC / JB . Alors :
k
A
B
2
+
A
C
2
=
(
k
+
1
)
(
k
B
J
2
+
A
J
2
)
.
{\displaystyle k~AB^{2}+AC^{2}=(k+1)(k~BJ^{2}+AJ^{2}).}
Démonstration
Le point J est le barycentre de (B , k ) et (C , 1) donc (cf. fonction scalaire de Leibniz )
k
A
B
2
+
A
C
2
=
k
J
B
2
+
J
C
2
+
(
k
+
1
)
J
A
2
=
k
J
B
2
+
(
k
J
B
)
2
+
(
k
+
1
)
J
A
2
=
(
k
+
k
2
)
J
B
2
+
(
k
+
1
)
J
A
2
=
(
k
+
1
)
(
k
J
B
2
+
J
A
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}k~AB^{2}+AC^{2}&=k~JB^{2}+JC^{2}+(k+1)JA^{2}\\&=k~JB^{2}+(k~JB)^{2}+(k+1)JA^{2}\\&=(k+k^{2})JB^{2}+(k+1)JA^{2}\\&=(k+1)(k~JB^{2}+JA^{2}).\end{aligned}}}
Deuxième théorème de la médiane — Soient (ABC ) un triangle et I le milieu du segment [BC ]. Alors
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
I
2
−
1
4
B
C
2
.
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=AI^{2}-{\dfrac {1}{4}}BC^{2}.}
La démonstration utilise la même décomposition des vecteurs
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
A
C
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}
ci-dessus :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
(
A
I
→
+
I
B
→
)
⋅
(
A
I
→
−
I
B
→
)
=
A
I
2
−
I
B
2
=
A
I
2
−
(
B
C
/
2
)
2
.
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=({\overrightarrow {AI}}+{\overrightarrow {IB}})\cdot ({\overrightarrow {AI}}-{\overrightarrow {IB}})=AI^{2}-IB^{2}=AI^{2}-(BC/2)^{2}.}
Théorème de la médiane pour un triangle rectangle [ modifier | modifier le code ] Il existe un cas particulier relatif au triangle rectangle .
Théorème — Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue du sommet de l'angle droit vaut la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Ce théorème possède une réciproque.
Théorème — Si dans un triangle, la longueur de la médiane issue d'un sommet vaut la moitié de la longueur du côté opposé, alors ce triangle est rectangle en ce sommet.
Troisième théorème de la médiane — Soient (ABC ) un triangle et I le milieu du segment [BC ]. On note H le projeté orthogonal de A sur (BC ). Alors
|
A
B
2
−
A
C
2
|
=
2
B
C
×
I
H
.
{\displaystyle \left|AB^{2}-AC^{2}\right|=2BC\times IH.}
Plus précisément :
A
B
2
−
A
C
2
=
2
B
C
¯
⋅
I
H
¯
,
{\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=2~{\overline {BC}}\cdot {\overline {IH}},}
BC IH mesures algébriques par rapport à un même vecteur directeur unitaire de la droite (BC ).
Il suffit d'utiliser le produit scalaire et les identités remarquables :
A
B
2
−
A
C
2
=
(
A
B
→
+
A
C
→
)
⋅
(
A
B
→
−
A
C
→
)
=
2
A
I
→
⋅
C
B
→
=
2
I
A
→
⋅
B
C
→
.
{\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})\cdot ({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}=2{\overrightarrow {IA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}.}
I
A
→
{\displaystyle {\overrightarrow {IA}}}
BC ) est
I
H
→
{\displaystyle {\overrightarrow {IH}}}
A
B
2
−
A
C
2
=
2
I
H
→
⋅
B
C
→
=
2
I
H
¯
⋅
B
C
¯
.
{\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=2~{\overrightarrow {IH}}\cdot {\overrightarrow {BC}}=2~{\overline {IH}}\cdot {\overline {BC}}.}
Théorème de Stewart
