Seconde forme fondamentale

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En géométrie différentielle, la seconde forme fondamentale, notée II, est une forme quadratique sur l'espace tangent de l'hypersurface d'une variété riemannienne.

Définition[modifier | modifier le code]

On considère une hypersurface orientée d'une variété riemannienne.

Soit n le champ de normales associé à cette hypersurface (cf. application de Gauss).

En notant \nabla_v w la dérivée covariante de la variété ambiante, on pose :

\mathrm I\!\mathrm I(v,w)= -\langle \nabla_v n,w\rangle=\langle n,\nabla_v w\rangle.

Le signe de la seconde forme fondamentale dépend du choix de la direction de n (la co-orientation de l'hypersurface).

On peut généraliser le concept de seconde forme fondamentale aux espaces de codimension arbitraire. Dans ce cas, c'est une forme quadratique sur l'espace tangent, à valeurs dans le fibré normal :

\mathrm{I}\!\mathrm{I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot,

avec (\nabla_v w)^\bot la projection orthogonale de la dérivée covariante \nabla_v w sur le fibré normal.

Espaces euclidiens[modifier | modifier le code]

Dans les espaces euclidiens, le tenseur de courbure d'une sous-variété peut être décrit par l'équation de Gauss :

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

Variétés riemanniennes[modifier | modifier le code]

Pour une variété riemannienne quelconque, on doit ajouter la courbure de l'espace ambiant. Si N est une variété incluse dans une variété riemannienne (M,g), alors le tenseur de courbure R_N de N avec métrique induite peut être exprimé à partir de la seconde forme fondamentale et de R_M , le tenseur de courbure de M :

\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]