Seconde forme fondamentale

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En géométrie différentielle, la seconde forme fondamentale, notée II, est une forme quadratique sur l'espace tangent de l'hypersurface d'une variété riemannienne.

Cas d'une surface dans ℝ3[modifier | modifier le code]

Soit une surface Σ paramétrée par X(u, v). En un point P donné, le plan tangent (lorsqu'il est défini) est généré par les vecteurs tangents Xu et Xv, et le vecteur normal est défini par

n = Xu ∧ Xv.

Dans le repère (P, Xu, Xv, n), si la surface est localement lisse, on peut faire un développement limité de Σ sous la forme

z = \mathrm{L}\frac{x^2}{2} +\mathrm{M}xy + \mathrm{N}\frac{y^2}{2} + \varepsilon

et définir la forme quadratique

II = Ldx2 + 2Mdxdy + Ndy2.

avec

\mathrm{L} = \frac{\partial^2 \mathrm{X}}{\partial u^2} \cdot \mathbf{n}
\mathrm{M} = \frac{\partial^2 \mathrm{X}}{\partial u \partial v} \cdot \mathbf{n}
\mathrm{N} = \frac{\partial^2 \mathrm{X}}{\partial v^2} \cdot \mathbf{n}

Cette forme quadratique II est appelée seconde forme fondamentale. Elle peut aussi être représentée par la matrice

\mathrm{II} = \begin{pmatrix}
\mathrm{L} & \mathrm{M} \\
\mathrm{M} & \mathrm{N}
\end{pmatrix}

Les vecteurs tangents (Xu, Xv) constituent une base du plan vectoriel tangent à Σ en P ; tout vecteur tangent peut s'écrire comme combinaison linéaire de Xu et Xv. La seconde forme fondamentale appliquée à deux vecteurs w1 = aXu + bXv et w2 = cXu + dXv s'écrit

II(w1, w2) = Lac + M(ad + bc) + Nbd

et pour un seul vecteur

II(w1, w1) = La2 + 2Mab + Nb2

La seconde forme fondamentale s'exprime également à partir de l'opérateur de forme S et du produit scalaire :

II(w1, w2) = S(w1)⋅w2.

La courbure de Gauss K peut être calculée à partir des première et seconde formes fondamentales :

\mathrm{K} = \frac{\det \mathrm{II}}{\det \mathrm{I}}
  = \frac{\mathrm{L}\mathrm{N} - \mathrm{M}^2}{\mathrm{E}\mathrm{G} - \mathrm{F}^2}.

Les courbures principales sont les valeurs propres de la matrice symétrique

\mathrm{II}_{uv} = \begin{pmatrix}
\mathrm{II}(\mathrm{X}_u, \mathrm{X}_u) & \mathrm{II}(\mathrm{X}_u, \mathrm{X}_v) \\
\mathrm{II}(\mathrm{X}_v, \mathrm{X}_u) & \mathrm{II}(\mathrm{X}_v, \mathrm{X}_v)
\end{pmatrix}

Définition[modifier | modifier le code]

On considère une hypersurface orientée d'une variété riemannienne.

Soit n le champ de normales associé à cette hypersurface (cf. application de Gauss).

En notant \nabla_v w la dérivée covariante de la variété ambiante, on pose :

\mathrm I\!\mathrm I(v,w)= -\langle \nabla_v n,w\rangle=\langle n,\nabla_v w\rangle.

Le signe de la seconde forme fondamentale dépend du choix de la direction de n (la co-orientation de l'hypersurface).

On peut généraliser le concept de seconde forme fondamentale aux espaces de codimension arbitraire. Dans ce cas, c'est une forme quadratique sur l'espace tangent, à valeurs dans le fibré normal :

\mathrm{I}\!\mathrm{I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot,

avec (\nabla_v w)^\bot la projection orthogonale de la dérivée covariante \nabla_v w sur le fibré normal.

Espaces euclidiens[modifier | modifier le code]

Dans les espaces euclidiens, le tenseur de courbure d'une sous-variété peut être décrit par l'équation de Gauss :

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

Variétés riemanniennes[modifier | modifier le code]

Pour une variété riemannienne quelconque, on doit ajouter la courbure de l'espace ambiant. Si N est une variété incluse dans une variété riemannienne (M,g), alors le tenseur de courbure R_N de N avec métrique induite peut être exprimé à partir de la seconde forme fondamentale et de R_M , le tenseur de courbure de M :

\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]