Première forme fondamentale

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La première forme fondamentale en un point P d'une surface Σ est, dans une première approche, une écriture formelle du produit scalaire euclidien usuel en restriction au plan tangent TPΣ.

On note la première forme fondamentale par la lettre romaine I.

Expression dans une base locale[modifier | modifier le code]

Considérons Σ une surface paramétrée par la fonction X(u,v). En un point donné, les vecteurs tangents sont notés Xu et Xv ; le plan tangent est généré par cette base locale (Xu, Xv), et tout vecteur tangent en ce point peut donc s'écrire comme une combinaison linéaire de ces deux vecteurs.

Alors le produit scalaire de deux vecteurs tangents s'écrit :

Les valeurs

sont appelées coefficients de la première forme fondamentale.

On peut écrire ceci sous la forme d'un tenseur :

avec gij = Xi⋅Xj, et l'on a alors, pour deux vecteurs x et y du plan tangent :

.

Calcul des longueurs et des aires[modifier | modifier le code]

Longueur d'un arc inclus dans la surface[modifier | modifier le code]

Considérons un élément de ligne ds, défini comme une petite variation de du et dv. Le carré de la longueur de cet arc peut se déterminer par :

ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2.

La longueur d'un arc paramétré de classe inclus dans la surface sera alors donné par :

et désigne les dérivées de u et v par rapport à t.

Aire d'une portion de la surface[modifier | modifier le code]

Considérons un élément de surface dA, défini comme une petite variation de du et dv. L'aire de cet élément de surface peut s'écrire, en utilisant l'identité de Lagrange :

L'aire d'une portion de surface correspondant à l'ensemble sera alors :

Exemple de la sphère[modifier | modifier le code]

Une sphère peut être paramétrée par :

ce qui donne, par différentiation :

et donc

E = sin2 v
F = 0
G = 1

Longueur d'une loxodromie[modifier | modifier le code]

Soit un angle entre 0 et . Considérons une loxodromie incluse dans la sphère, de paramétrage , v variant de 0 à .

Le vecteur tangent à cette loxodromie vaut . Sa norme est et est constante.

L'angle entre T et a pour cosinus de sorte que est l'angle constant entre la loxodromie et les méridiens.

La longueur de la loxodromie est . La loxodromie est une hélice qui s'enroule autour des pôles mais qui a une longueur finie.

Aire d'une portion latérale de sphère[modifier | modifier le code]

Cherchons l'aire de la portion latérale D de sphère limité par , . On a, puisque  :

L'aire de D est identique à celle du cylindre de même hauteur que D et de base un grand cercle de la sphère.

Voir aussi[modifier | modifier le code]