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Les polynômes de Lucas sont définis par la même récurrence, mais avec des valeurs initiales différentes :
; est un polynôme de degré n.
Les premiers polynômes de Lucas sont :
Les nombres de Fibonacci sont alors calculés en évaluant la valeur du polynôme Fn lorsque x = 1 ; les nombres de Pell sont déterminés en évaluant Fn lorsque x = 2. Enfin, les nombres de Lucas sont obtenus en évaluant Ln en 1.
Ces suites de polynômes sont des suites de Lucas associées : on a
Des expressions analogues à la formule de Binet existent[3] :
où
sont les solutions (en t) de
Les puissances de x s'expriment comme combinaison des polynômes de Fibonacci par[4]
Par exemple,
.
Racines et factorisation des polynômes de Fibonacci
Posant , on vérifie qu'avec les notations précédentes, , , et donc que , qui ne s'annule que pour ; ainsi les racines de sont les imaginaires purs [5]. On en déduit la factorisation des :
et
,
puis, prenant , une expression trigonométrique des nombres de Fibonacci[6] :
;
des formules analogues peuvent être obtenues pour les polynômes de Lucas[5].
Interprétation combinatoire
Si F(n,k) est le coefficient de xk dans Fn(x), c'est-à-dire que
alors F(n,k) est le nombre de façons dont on peut paver une bande de n−1 carrés avec des dominos (des rectangles ) et exactement k carrés unité[1]. De façon équivalente, F(n,k) est le nombre de façons d'écrire n−1 comme une somme ordonnée de 1 et de 2, avec exactement k apparitions de 1. Par exemple, F(6,3)=4 et 5 peut s'écrire de 4 façons, 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1, comme somme de 1 et de 2 avec exactement trois 1. Déterminant la position des 1 dans une telle somme, il devient alors évident que F(n,k) est égal au coefficient binomial
où n et k sont de parité opposée, ce qui permet de lire ces coefficients dans le triangle de Pascal, comme montré ci-dessus.
↑(en) Bala Sury, « Trigonometric expressions for Fibonacci and Lucas Numbers », Acta Math. Univ. Comenianae, vol. 79, no 2, , p. 199-208 (lire en ligne).
Voir aussi
Bibliographie
(en) Dominique Foata et Guo-Niu Han, « Nombres de Fibonacci et polynômes orthogonaux », Leonardo Fibonacci : il tempo, le opere, l’eredit`a scientifica, (lire en ligne)
(en) V. E. Hoggatt et Calvin T. Long, « Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials », Fibonacci Quarterly, vol. 12, , p. 113 (MR0352034, lire en ligne)